Risolvere le disuguaglianze lineari: cambio di verso e intervalli

Le disuguaglianze (dette anche disequazioni) sono relazioni d'ordine che confrontano due espressioni con i segni >, <, ≥, ≤. Capirle significa ragionare su insiemi di numeri e non su un singolo valore. In questa guida impari i principi, i passaggi chiave e come leggere i risultati.

Definisci il problema, isola l’incognita, applica le proprietà in modo sicuro e, se dividi o moltiplichi per un numero negativo, inverti il segno. Chiudi esprimendo il risultato in intervalli e, quando serve, con una rapida rappresentazione su retta. Esempi inclusi.

Che cosa sono le disuguaglianze?

Una disuguaglianza afferma che un’espressione è maggiore, minore, non maggiore o non minore di un’altra. La soluzione non è un unico numero ma un insieme soluzione: tutti i valori che rendono vera la relazione.

Quali simboli si usano e perché?

I segni principali sono: > (maggiore), < (minore), ≥ (maggiore o uguale), ≤ (minore o uguale). In una rappresentazione su retta, un confine escluso si indica spesso con cerchietto pieno per ≥ o ≤, mentre un confine aperto usa il cerchietto vuoto per > o <, secondo la convenzione adottata.

Come si risolvono le disuguaglianze lineari?

La strategia è simile a quella delle equazioni: semplifica, porta i termini simili dallo stesso lato e isola l’incognita. Usa somma e sottrazione su entrambi i membri per eliminare costanti e coefficienti, mantenendo l’equilibrio dell’inequazione. Quando dividi o moltiplichi entrambi i membri, ricorda la regola del cambio di verso.

Se moltiplichi o dividi per un numero positivo, il verso resta uguale; con un numero negativo, il segno si inverte. Alla fine scrivi il risultato come intervallo (o unione di intervalli) e, se utile, verifica con un valore di prova compreso nell’insieme soluzione.

Passaggi fondamentali

• Identifica il dominio e semplifica i termini simili.
• Trasporta i termini cambiando lato con somma o sottrazione.
• Moltiplica o dividi per un numero positivo quando possibile.
• Se moltiplichi o dividi per un numero negativo, inverti il verso.
• Isola l’incognita e riduci alla forma canonica.
• Esprimi la soluzione con intervalli e rappresentala su retta.

Quali errori evitare nelle disuguaglianze?

Anche piccoli automatismi portano a risultati sbagliati. Ecco le trappole più comuni e come schivarle in pratica.

1. Dimenticare l’inversione del segno con coefficienti negativi. Se dividi 2−5x ≥ 7 per −5, devi capovolgere ≥ in ≤. Una verifica numerica rapida rivela subito l’errore.
2. Confondere operazioni lecite e il divieto assoluto: mai dividere per zero. Se un passaggio ti porta alla divisione per 0, fermati e ripensa la semplificazione usata.
3. Ignorare il dominio dell’espressione. Se compaiono frazioni o radici, stabilisci per quali x l’espressione ha senso; altrimenti potresti includere soluzioni non ammissibili.
4. Gestire male il punto di confine. Con ≥ o ≤ il confine va incluso; con > o < è escluso. Confondere questi casi cambia davvero l’insieme soluzione.
5. Saltare passaggi nella semplificazione. Eliminare parentesi senza distribuire correttamente un segno meno o un fattore altera i coefficienti e falsifica il confronto.
6. Non eseguire una verifica grafica. Una rapida retta numerica con intervalli evidenziati fa emergere incongruenze e aiuta a comunicare il risultato.
7. Non controllare con un numero di prova. Sostituisci un valore interno all’intervallo: se la disuguaglianza non risulta vera, ricontrolla i passaggi critici.

Quando usare intervalli e grafici?

Gli insiemi soluzione si leggono meglio con il metodo della rappresentazione su retta: evidenzia gli estremi, decidi inclusione o esclusione e poi ombreggia le parti ammesse. Con più condizioni, le intersezioni e le unioni chiariscono subito dove la relazione è valida.

La notazione degli intervalli è compatta ed espressiva. Le parentesi tonde indicano esclusione, le quadre inclusione degli estremi: per esempio, (−∞, 3] significa tutti i numeri minori o uguali a 3. Per soluzioni spezzate, usa la ∪ per unire più intervalli.

Esempi svolti passo passo

Esempio 1. Risolvi: 2x − 5 ≤ 7. 1) Somma 5 a entrambi i membri: 2x ≤ 12. 2) Dividi per 2: x ≤ 6. Soluzione: (−∞, 6]. Rappresentazione: punto pieno in 6 e tratto ombreggiato verso sinistra.

Esempio 2. Risolvi: −3(2x − 1) > 9. 1) Distribuisci: −6x + 3 > 9. 2) Sottrai 3: −6x > 6. 3) Dividi per −6 e applica il cambio di verso: x < −1. Soluzione: (−∞, −1). Controllo: con x = −2, −3(−5) = 15 > 9, vero.

Esempio 3. Risolvi: x/2 − 3 ≥ 1/2. 1) Somma 3: x/2 ≥ 3,5. 2) Moltiplica per 2: x ≥ 7. Soluzione: [7, +∞). Qui le parentesi quadre indicano che il 7 è incluso.

Perché si inverte il segno?

Moltiplicare o dividere per un numero negativo ribalta l’ordine sulla retta dei reali: ciò che era “maggiore” diventa “minore”, e viceversa, mantenendo la coerenza dell’ordine. È il cuore della regola.

Quanto contano i confini?

Se compaiono ≥ o ≤, l’estremo soddisfa la disuguaglianza e deve essere incluso; con > o < no. In grafico, l’estremo incluso si marca con punto pieno; se escluso, con punto vuoto.

Domande frequenti

Cosa ricordare davvero

• Isola l’incognita e cambia verso solo con numeri negativi.
• Moltiplicare o dividere per un numero negativo inverte il segno.
• Rappresenta sempre la soluzione con intervalli e su retta.
• Cura confini inclusi/esclusi e dominio prima di risolvere.
• Verifica con un valore di prova o sostituzione.

Prendere dimestichezza con le disuguaglianze significa allenare metodo e controllo. Applica i passaggi nell’ordine giusto, annota i punti critici e traduci il risultato in intervalli. Una rappresentazione su retta di pochi secondi spesso evita errori e chiarisce il senso della soluzione.

Se stai studiando per un compito o un test, crea una piccola checklist: semplifica, isola l’incognita, considera il segno del coefficiente, traduci in intervalli, verifica. Con esercizio e attenzione alla regola del cambio di verso, le disuguaglianze diventano uno strumento affidabile e intuitivo.