Come si risolve una disequazione: metodi, segni e intervalli

Capire cos’è una disequazione e come risolverla è un passaggio chiave nello studio dell’algebra. In questa guida pratica userai idee come inequazioni, segni e intervalli per passare dai simboli ai risultati. Ti aiuteranno schemi chiari, una possibile mappa concettuale mentale e tanti esempi mirati.

Vuoi risolvere le disequazioni senza incertezze? Parti dal dominio, porta tutto a un lato, applica correttamente le regole dei segni, usa il metodo dei segni per analizzare gli intervalli e scrivi la soluzione con notazione chiara.

Che cos’è una disequazione?

Una disequazione è un’affermazione che confronta due espressioni con simboli come <, ≤, >, ≥. A differenza di un’uguaglianza, ammette un insieme (spesso infinito) di valori dell’incognita che rendono vera la frase. Esempio: 2x + 3 < 7 significa cercare tutti i valori di x per cui l’espressione a sinistra è minore di 7.

Prima di manipolare una disequazione è utile pensare al suo dominio: i valori ammessi per l’incognita. Se compaiono frazioni, il denominatore non può essere zero; con radici pari, l’argomento deve essere non negativo; con logaritmi, l’argomento deve essere positivo. Il dominio guida scelte e controlli.

Tipologie principali

Le disequazioni possono essere lineari (di primo grado), quadratiche o polinomiali, razionali fratte, con potenze e radici, o con valore assoluto. Alcune si risolvono isolando l’incognita, altre si trasformano in prodotti/rapporti e si studia il segno dei fattori, altre richiedono casi distinti (per esempio con |x|).

Qual è la differenza con un’equazione?

Un’equazione chiede “per quali valori le due espressioni sono uguali?”, di solito restituendo zero, uno o più valori puntuali. Una disequazione chiede invece “per quali valori una espressione è più grande o più piccola dell’altra?”, restituendo tipicamente un’area continua di valori.

Di conseguenza, la risposta a una disequazione è spesso un insieme soluzione espresso come intervallo (o unione di intervalli) sulla retta reale. Per esempio, x < 4 si esprime come (-∞, 4). In presenza di ≤ o ≥, il confine può essere incluso.

Esempio di base

Considera 2x + 3 < 11. Sottrai 3 a entrambi i membri: 2x < 8. Dividi per 2 (positivo): x < 4. La soluzione è x < 4, cioè (-∞, 4). Il passaggio è corretto perché non abbiamo moltiplicato o diviso per un numero negativo, quindi il verso non è cambiato.

Come funzionano i segni nelle operazioni?

Le proprietà delle disequazioni dicono come le trasformazioni influenzano il verso del simbolo. Aggiungere o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri non cambia il verso; moltiplicare o dividere per un numero positivo non cambia il verso; con numeri negativi, invece, occorre attenzione.

Proprietà operative

• Addizione/sottrazione: se a < b, allora a + c < b + c. Stesso discorso per “≤” e “≥”. È una trasformazione sicura.
• Moltiplicazione/divisione per positivo: se a < b e c > 0, allora a·c < b·c e a/c < b/c. Nessuna inversione.
• Moltiplicazione/divisione per negativo: se a < b e c < 0, allora a·c > b·c e a/c > b/c; si inverte il verso. Questa è la regola più importante.
• Applicare funzioni: funzioni crescenti (per esempio sommare una costante o moltiplicare per positivo) preservano l’ordine; funzioni decrescenti lo invertono. In caso di dubbio, porta tutto a un lato e studia il segno.

Queste idee sono riassunte dal principio di equivalenza adattato alle disequazioni: trasformazioni che non cambiano (o cambiano controllatamente) il verso portano a una disequazione “equivalente” nel senso del suo insieme soluzione.

Quali metodi per risolvere?

Gli approcci più efficaci ruotano attorno a due pratiche:

isolare l’incognita quando possibile e usare il metodo dei segni quando compaiono prodotti, quozienti o polinomi. In entrambi i casi, il dominio e i punti che annullano fattori guidano la costruzione della soluzione.

1. Analizza il dominio. Individua subito valori esclusi (per esempio x ≠ 2 se c’è 1/(x−2)) e condizioni (radici/logaritmi). Questo evita soluzioni “sporcate” da valori non ammessi.
2. Porta tutto su un lato. Trasforma la disequazione in f(x) ◊ 0 (con ◊ uno tra <, ≤, >, ≥). Così puoi concentrarti sul segno di f(x) e leggere dove è positivo/negativo.
3. Rendi esplicata la struttura. Se f(x) è un prodotto/rapporto, evidenzia i fattori; se è un polinomio, scomponilo (quando possibile) o usa il completamento del quadrato; con frazioni elimina i denominatori lavorando a segni.
4. Costruisci la tabella dei segni. Segna su una retta i punti che annullano i fattori o non appartengono al dominio. In ogni intervallo, determina il segno complessivo moltiplicando i segni dei fattori.
5. Decidi l’insieme soluzione. Se la richiesta è f(x) ≥ 0, prendi gli intervalli in cui il segno è ≥ 0; se è f(x) < 0, prendi intervalli con segno negativo. Indica con cura cosa includere/escludere ai confini.
6. Tratta i punti di frontiera. Se un punto annulla un fattore del numeratore ed è “≥” o “≤”, di solito si include; se azzera il denominatore, è sempre escluso. I simboli chiariscono l’inclusione.
7. Verifica con un esempio. Prendi una disequazione come (x−1)(x−3) ≥ 0. Gli zeri sono x=1 e x=3. La tabella mostra segno positivo per x ≤ 1 e x ≥ 3, negativo tra 1 e 3. Soluzione: (-∞, 1] ∪ [3, +∞).

Metodo dei segni (schema)

Il metodo dei segni funziona perché un prodotto/rapporto è positivo se ha un numero pari di fattori negativi e negativo se il numero è dispari. Per costruire lo schema, elenca i fattori, individua i loro zeri e disegna una riga di intervalli separati da quei punti.

In ciascun intervallo scegli un valore di prova o ragiona sul segno di ciascun fattore (per esempio, x−1 è negativo per x < 1 e positivo per x > 1). Moltiplicando i segni ottieni il segno di f(x). Questo rende visibile la soluzione senza risolvere casi uno per uno.

Rappresentare la soluzione

Per comunicare in modo sintetico, si usa la notazione per intervalli. Le parentesi tonde indicano esclusione del confine, quelle quadre inclusione.

L’unione “∪” unisce più pezzi di soluzione; “+∞” e “−∞” rappresentano limiti non raggiungibili, quindi si usano sempre parentesi tonde.

Nel disegno sulla retta reale, un punto pieno indica inclusione, un punto vuoto esclusione. Quando scrivi il risultato, cura i dettagli: (-∞, 1] ∪ [3, +∞) è diverso da (-∞, 1) ∪ (3, +∞). Una pratica notazione coerente evita fraintendimenti.

Errori comuni

• Dimenticare di cambiare il verso quando si moltiplica/divide per un numero negativo. È l’errore più frequente, da prevenire con un promemoria visivo.
• Trascurare il dominio prima di manipolare: potresti includere valori non ammessi (per esempio zeri del denominatore) nella risposta finale.
• Confondere inclusione ed esclusione al confine: “≤/≥” includono spesso lo zero del numeratore; “>” no; i punti che annullano il denominatore sono sempre esclusi.
• Non scomporre un polinomio quando è possibile: la tabella dei segni è molto più semplice con fattori elementari.
• Quadrati o funzioni non monotone applicate a entrambi i membri senza analisi: possono introdurre soluzioni spurie o perdere soluzioni.

Passi fondamentali per la soluzione

• Identifica il tipo di disequazione.
• Porta tutti i termini da un lato.
• Gestisci denominatori, potenze e radici.
• Applica correttamente le proprietà dei segni.
• Analizza il segno su intervalli della retta.
• Scrivi la soluzione con notazione per intervalli.

Domande frequenti

In sintesi operativa

• Le proprietà dei segni guidano ogni passaggio.
• Il metodo dei segni evita casi separati complessi.
• Gestisci il dominio prima di operare.
• Le soluzioni si esprimono come unioni di intervalli.
• Verifica sempre punti di frontiera e condizioni.

Con una strategia coerente, le disequazioni diventano gestibili: individua dominio e punti critici, riduci tutto a un’espressione da studiare, leggi il segno sugli intervalli e presenta la soluzione con notazione ordinata. Ricorda che la cura dei dettagli (versi, inclusioni, dominio) fa la differenza nei risultati.

Per consolidare, costruisci una tua mappa mentale: quali trasformazioni sono “sicure”, quando si inverte il verso, come impostare la tabella dei segni. Alterna esercizi guidati a problemi leggermente diversi: cambiare tipo di disequazione o contesto ti aiuta a trasferire il metodo con flessibilità.