Le sono una tipologia di funzioni che presentano una frazione al loro interno. Sono molto utilizzate nel campo della matematica e si svolgono specifici su di esse al fine di consolidarne la comprensione e l’applicazione. In questo articolo, esploreremo alcuni esercizi funzioni fratte al fine di illustrare come risolverli in modo corretto.

Prima di iniziare con gli esercizi, è importante ricordare alcune proprietà funzioni fratte. Ad esempio, una funzione fratta può presentare uno o più valori di x che rendono il denominatore uguale a zero. Questi valori di x, noti come zeri del denominatore, andranno esclusi dal dominio definendo delle condizioni per evitare tali situazioni.

Iniziamo con un esercizio semplice. Dato il seguente problema:

F(x) = (3x-2) / (x+4)

Calcola il valore di F(2).

Per risolvere questo esercizio, sostituiamo X con 2 nella funzione:

F(2) = (3(2)-2) / (2+4)
= (6-2) / 6
= 4 / 6
= 2 / 3

Pertanto, il valore di F(2) è 2/3.

Passiamo ad un esercizio più complesso. Dato il problema:

F(x) = (2x^2-5x+3) / (x^2-4x+3)

a) Calcola i punti di intersezione con gli assi cartesiani.
b) Determina il dominio della funzione.
c) Trova le asintoti verticali e orizzontali della funzione.

Per quanto riguarda il punto a), dobbiamo determinare i punti di intersezione con gli assi x e y. Per trovare il punto di intersezione con l’asse x, poniamo il denominatore uguale a zero e risolviamo l’equazione:

x^2-4x+3 = 0

Risolvendo l’equazione otteniamo x = 1 e x = 3. Quindi, i punti di intersezione con l’asse x sono (1, 0) e (3, 0).

Per trovare il punto di intersezione con l’asse y, poniamo x uguale a zero nella funzione:

F(0) = (2(0)^2-5(0)+3) / (0^2-4(0)+3)
= 3/3
= 1

Quindi, il punto di intersezione con l’asse y è (0, 1).

Per quanto riguarda il punto b), il dominio della funzione è l’insieme di tutti i valori di x per cui il denominatore è diverso da zero. Pertanto, il dominio della funzione è R – {1, 3}, ovvero l’insieme di tutti i numeri reali esclusi 1 e 3.

Infine, per trovare gli asintoti verticali e orizzontali, dobbiamo esaminare il comportamento della funzione per valori di x che tendono a infinito. Dato che entrambi i gradi dei polinomi del numeratore e del denominatore sono 2, possiamo determinare gli asintoti orizzontali utilizzando il rapporto tra i coefficienti principali dei polinomi:

Asintoti orizzontali: y = 2/1 = 2

Per determinare gli asintoti verticali, poniamo il denominatore uguale a zero e risolviamo l’equazione:

x^2-4x+3 = 0

Risolvendo l’equazione otteniamo x = 1 e x = 3. Quindi, gli asintoti verticali sono x = 1 e x = 3.

In conclusione, gli esercizi sulle funzioni fratte richiedono di applicare le proprietà e le regole specifiche di questa tipologia di funzioni. È importante comprendere il valore dei punti di intersezione con gli assi cartesiani, il dominio della funzione e gli asintoti verticali e orizzontali. Fissare questi concetti attraverso l’esercizio e la pratica aiuta a consolidare la comprensione delle funzioni fratte e a migliorare le abilità matematiche complessive.

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