Esercizi sullo studio di funzioni fratte

Per iniziare, un buon esercizio da eseguire consiste nell’individuare il dominio di definizione di una funzione fratta. Per fare ciò, bisogna ricordare che il denominatore di una funzione fratta non può essere uguale a zero, altrimenti l’espressione non sarebbe ben definita. Pertanto, la prima cosa da fare è individuare i valori del dominio in cui il denominatore si annulla. Ad esempio, supponiamo di avere la funzione fratta f(x) = (3x-2)/(x+1). Per determinare il dominio di definizione, poniamo il denominatore uguale a zero e risolviamo l’equazione: x+1 = 0. Otteniamo x = -1. Quindi, il dominio della funzione è costituito da tutti i valori di x diversi da -1.

Un altro esercizio interessante consiste nel trovare gli eventuali punti di discontinuità della funzione fratta. Questi punti si incontrano quando il denominatore si annulla, ma il numeratore è diverso da zero. Ad esempio, consideriamo la funzione fratta g(x) = (x^2-4)/(x-2). Per trovare i punti di discontinuità, poniamo il denominatore uguale a zero e risolviamo l’equazione: x-2 = 0. Otteniamo x = 2. Ora dobbiamo verificare se il numeratore è diverso da zero per questo valore di x. In questo caso, abbiamo x^2-4 = 4-4 = 0. Quindi, la funzione presenta una discontinuità in x = 2.

Un altro esercizio interessante è quello di determinare il comportamento asintotico della funzione fratta. Per fare ciò, dobbiamo analizzare il comportamento della funzione quando x tende a più o meno infinito. Ad esempio, supponiamo di avere la funzione fratta h(x) = (2x^3-3x^2+5)/(x^2-1). Per determinare i comportamenti asintotici, dobbiamo studiare il rapporto tra i coefficienti dei polinomi di grado maggiore presenti nel numeratore e nel denominatore. In questo caso, il coefficiente del termine di grado maggiore nel numeratore è 2, mentre nel denominatore è 1. Pertanto, la funzione presenta un comportamento asintotico orizzontale quando x tende a più o meno infinito. Inoltre, possiamo determinare i comportamenti asintotici verticale analizzando cosa accade quando il denominatore si avvicina a zero. In questo caso, il denominatore si annulla per x = 1 e x = -1. Quindi, la funzione presenta due asintoti verticali alle rette x = 1 e x = -1.

Infine, un altro esercizio utile da eseguire è quello di individuare i punti di intersezione della funzione fratta con gli assi cartesiani. Per determinare i punti di intersezione con l’asse delle x, poniamo il numeratore uguale a zero e risolviamo l’equazione. Per individuare i punti di intersezione con l’asse delle y, poniamo x uguale a zero e calcoliamo il valore della funzione. Ad esempio, consideriamo la funzione fratta k(x) = (x^2-x)/(x-1). Ponendo il numeratore uguale a zero, otteniamo x(x-1) = 0. Pertanto, i punti di intersezione con l’asse delle x sono x = 0 e x = 1. Ponendo x uguale a zero, otteniamo k(0) = 0/(-1) = 0. Pertanto, il punto di intersezione con l’asse delle y è (0,0).

In conclusione, gli esercizi sullo studio di funzioni fratte sono un ottimo strumento per approfondire la comprensione di queste funzioni matematiche. Attraverso la soluzione di esercizi che richiedono di individuare il dominio di definizione, i punti di discontinuità, i comportamenti asintotici e i punti di intersezione con gli assi cartesiani, si può consolidare la teoria appresa e sviluppare una maggiore dimestichezza nel trattamento di queste funzioni complesse.