Esercizi con le

Le funzioni razionali fratte sono funzioni di variabile reale che si possono scrivere nella forma p(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, dove p(x) e q(x) sono polinomi di variabile x. Queste funzioni possono essere molto complesse e interessanti da studiare, e ci offrono numerosi per affinare le nostre abilità matematiche. Di seguito, vedremo alcuni esempi di esercizi sulle funzioni razionali fratte.

Esercizio 1:
Semplifica la funzione razionale fratta f(x) = \frac{4x^2-9}{2x^2+7x-15}.
Per semplificare questa funzione, dobbiamo trovare il massimo comune divisore tra il numeratore e il denominatore. In questo caso, notiamo che il numeratore può essere scomposto come (2x-3)(2x+3), mentre il denominatore può essere scomposto come (2x-3)(x+5). Possiamo quindi semplificare la funzione cancellando i termini comuni, ottenendo f(x) = \frac{2x+3}{x+5}.

Esercizio 2:
Trova i punti di intersezione fra le funzioni razionali fratte f(x) = \frac{x-1}{x+2} e g(x) = \frac{x+3}{x-1}.
Per trovare i punti di intersezione, dobbiamo risolvere l’equazione f(x) = g(x). In questo caso, otteniamo \frac{x-1}{x+2} = \frac{x+3}{x-1}. Moltiplicando entrambi i lati per (x+2)(x-1), otteniamo (x-1)^2 = (x+3)(x+2). Espandendo i quadrati e semplificando i termini, arriviamo all’equazione x^2-2x+1 = x^2+5x+6. Sottraendo x^2 da entrambi i lati e semplificando, otteniamo -2x+1 = 5x+6. Risolvendo l’equazione, otteniamo x = -\frac{1}{7}. Sostituendo questo valore nella funzione f(x), otteniamo f\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{-\frac{1}{7}-1}{-\frac{1}{7}+2} = \frac{-\frac{8}{7}}{\frac{15}{7}} = -\frac{8}{15}. Quindi, il punto di intersezione è \left(-\frac{1}{7}, -\frac{8}{15}\right).

Esercizio 3:
Trova il dominio e l’insieme di punti in cui la funzione razionale fratta f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-4} è positiva.
Per trovare il dominio della funzione, dobbiamo considerare i valori di x che rendono il denominatore diverso da zero. In questo caso, il denominatore può essere fattorizzato come (x-2)(x+2), quindi il dominio della funzione è x \neq 2, x \neq -2. Per determinare i punti in cui la funzione è positiva, dobbiamo analizzare i segni del numeratore e del denominatore. Il numeratore può essere scomposto come (x-1)(x+1), quindi dobbiamo considerare i segni delle due coppie di fattori. Notiamo che il numeratore sarà positivo quando entrambi i fattori sono positivi o entrambi i fattori sono negativi. Quindi, i punti in cui la funzione è positiva sono x <-2, -2 < x < 1 e x > 1.

Questi esercizi rappresentano solo alcune delle possibili domande che possiamo affrontare quando studiamo le funzioni razionali fratte. Per padroneggiarle completamente, è necessario un costante e una pratica costante. I concetti di dominio, punti di intersezione e semplificazione sono solo l’inizio di quello che possiamo imparare da queste funzioni. Sono uno strumento potente e versatile per modellare e risolvere problemi matematici di vario genere.

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