Gli sui limiti che tendono a infinito sono una parte fondamentale nello studio del calcolo differenziale e integrale. Questi esercizi ci permettono di comprendere il comportamento funzioni quando l’input si avvicina all’infinito, fornendoci informazioni cruciali loro crescita o decrescita.

Uno dei primi esercizi che ci si presenta riguarda il limite della funzione f(x) = 3x quando x tende a infinito. Per risolvere questo esercizio, dobbiamo valutare il comportamento della funzione quando x si avvicina sempre di più all’infinito. Possiamo notare che all’aumentare di x, la funzione viene moltiplicata per un fattore costante (3). Di conseguenza, possiamo dire che il limite della funzione f(x) sarà infinito quando x tende a infinito.

Un altro esempio di esercizio sui limiti che tendono a infinito riguarda la funzione g(x) = x^2 / x+1. In questo caso, dobbiamo valutare il limite della funzione quando x si avvicina all’infinito. Possiamo iniziare semplificando la funzione dividendo sia il numeratore che il denominatore per x. Otteniamo così g(x) = x / (x/x+1/x). Quando x tende a infinito, sia il numeratore che il denominatore si avvicinano all’infinito, ottenendo quindi un limite indeterminato.

È possibile risolvere questo tipo di esercizio utilizzando la regola di L’Hôpital, che ci permette di calcolare il limite di una funzione razionale dividendo il numeratore e il denominatore per la derivata della funzione. Applicando questa regola all’esempio precedente, otteniamo g'(x) = 1 / 1 + 1/x^2. Ora possiamo calcolare il limite di g'(x) quando x tende a infinito, ottenendo il 1. Di conseguenza, possiamo affermare che il limite della funzione g(x) sarà 1 quando x tende a infinito.

Un altro esempio comune riguarda la funzione h(x) = (2x^3 – 5x) / (x^3 + 3x^2 – x). In questo caso, dobbiamo valutare il limite della funzione quando x tende a infinito. Possiamo semplificare la funzione divivendo sia il numeratore che il denominatore per x^3. Otteniamo così h(x) = (2 – 5/x^2) / (1 + 3/x – 1/x^3). Quando x tende a infinito, il termine -5/x^2 si avvicina a zero, mentre il termine 3/x e il termine -1/x^3 si avvicinano rispettivamente a zero e -1. Di conseguenza, possiamo affermare che il limite della funzione h(x) sarà 2/1, ovvero 2, quando x tende a infinito.

In conclusione, gli esercizi sui limiti che tendono a infinito ci permettono di comprendere il comportamento delle funzioni quando l’input si avvicina all’infinito. Attraverso l’uso delle regole di L’Hôpital e delle proprietà delle funzioni, possiamo determinare con certezza il valore del limite di una funzione nel caso in cui tenda a infinito. L’esercizio di tali problemi ci aiuta ad applicare le conoscenze fondamentali del calcolo differenziale e integrale e ad acquisire una maggiore padronanza nel calcolo dei limiti.

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