Le pari e sono concetti fondamentali nell’ambito matematica, in particolare nello studio delle funzioni. Questi due tipi di funzioni sono caratterizzati da particolari proprietà che permettono di semplificarne l’analisi, rendendo più agevole il calcolo di alcuni valori.

Una si dice pari se per ogni valore di x si ha che f(x) = f(-x). Ciò significa che la funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, quindi il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse y. In altre parole, se prendiamo due punti (x, y) e (-x, y) appartenenti al grafico della funzione, allora y sarà lo stesso per entrambi i punti. Ad esempio, la funzione f(x) = x^2 è una funzione pari, poiché per ogni valore di x si ha che f(x) = f(-x).

Al contrario, una funzione si dice dispari se per ogni valore di x si ha che f(x) = -f(-x). In questo caso, il grafico della funzione risulta simmetrico rispetto all’origine del sistema di assi cartesiani, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’origine. Ciò significa che se prendiamo due punti (x, y) e (-x, -y) appartenenti al grafico della funzione, allora y sarà l’opposto di -y. Ad esempio, la funzione f(x) = x^3 è una funzione dispari, poiché per ogni valore di x si ha che f(x) = -f(-x).

Per comprendere meglio le caratteristiche delle funzioni pari e dispari, è utile svolgere alcuni pratici. Consideriamo ad esempio la funzione f(x) = 2x^4 – 3x^2. Per determinare se questa funzione è pari o dispari, dobbiamo verificare le proprietà appena descritte.

Per verificare se la funzione è pari, dobbiamo verificare se per ogni valore di x si ha f(x) = f(-x). Calcolando f(x) otteniamo f(x) = 2x^4 – 3x^2. Ora calcoliamo f(-x): f(-x) = 2(-x)^4 – 3(-x)^2 = 2x^4 – 3x^2. Notiamo che i due risultati coincidono, pertanto possiamo affermare che la funzione f(x) = 2x^4 – 3x^2 è pari.

Per verificare se la funzione è dispari, dobbiamo, invece, verificare se per ogni valore di x si ha f(x) = -f(-x). Applichiamo la stessa procedura di prima: calcoliamo f(x) ottenendo f(x) = 2x^4 – 3x^2. Ora calcoliamo f(-x): f(-x) = 2(-x)^4 – 3(-x)^2 = 2x^4 – 3x^2. Notiamo che i due risultati concidono con un segno di negativo per f(-x), pertanto possiamo affermare che la funzione f(x) = 2x^4 – 3x^2 non è dispari.

Come abbiamo visto con l’esempio precedente, non tutte le funzioni sono né pari né dispari. Tuttavia, esistono funzioni che hanno una di queste due caratteristiche. Ad esempio, la funzione f(x) = cos(x) è una funzione pari, mentre la funzione f(x) = sin(x) è una funzione dispari.

Saper riconoscere se una funzione è pari o dispari è utile nel calcolo di alcune quantità, come ad esempio l’integrale di una funzione su un intervallo simmetrico rispetto all’origine. Inoltre, le funzioni pari e dispari possono essere scomposte in una parte pari o dispari e una parte generale, semplificando così il loro studio.

In conclusione, le funzioni pari e dispari sono concetti fondamentali nella matematica. Svolgere esercizi su questi tipi di funzioni permette di approfondire la comprensione di queste proprietà e di applicarle in diversi contesti matematici.

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