Le pari e sono concetti fondamentali nello studio funzioni matematiche. Capire e saper riconoscere se una è pari o dispari è importante perché ci aiuta a semplificare i calcoli e ad avere una migliore comprensione del comportamento di una funzione.

Iniziamo definendo cosa sono le funzioni pari e dispari. Una funzione è definita pari se il suo valore non cambia quando x viene sostituito con -x. Formalmente, una funzione f(x) è pari se f(x) = f(-x) per ogni x nel dominio della funzione.

D’altra parte, una funzione è definita dispari se il suo valore cambia segno quando x viene sostituito con -x. Formalmente, una funzione f(x) è dispari se f(x) = -f(-x) per ogni x nel dominio della funzione.

Per verificare se una funzione è pari o dispari possiamo seguire alcuni passi. Prendiamo ad la funzione f(x) = x^2.

Per verificare se f(x) è pari, sostituiamo -x al posto di x nella funzione:
f(-x) = (-x)^2 = x^2.

Vediamo che f(x) = f(-x), quindi la funzione f(x) = x^2 è pari.

Per verificare se f(x) è dispari, sostituiamo -x al posto di x nella funzione:
-f(-x) = -(-x)^2 = -x^2.

Notiamo che -f(-x) è uguale a -x^2, che è l’opposto di f(x). Quindi, la funzione f(x) = x^2 non è dispari.

Ora che sappiamo come verificare se una funzione è pari o dispari, possiamo esercitarci con alcuni esempi.

Esempio 1: La funzione f(x) = 3x^4 + 2x^2.
Per verificare se è pari o dispari, possiamo sostituire -x al posto di x nella funzione e vedere se otteniamo la stessa funzione o la sua negazione.

-f(-x) = 3(-x)^4 + 2(-x)^2 = 3x^4 + 2x^2 = f(x).

Vediamo che f(x) = f(-x), quindi la funzione f(x) = 3x^4 + 2x^2 è pari.

Esempio 2: La funzione g(x) = 5x^3 – 4x.
Per verificare se è pari o dispari, effettuiamo la sostituzione:

-g(-x) = -5(-x)^3 + 4(-x) = -5x^3 + 4x.

Notiamo che -g(-x) non è uguale a g(x), quindi la funzione g(x) = 5x^3 – 4x non è né pari né dispari.

Esempio 3: La funzione h(x) = x^3 – x.
Effettuiamo la sostituzione per verificare se è pari o dispari:

-h(-x) = -(-x)^3 – (-x) = -x^3 + x = -(x^3 – x).

Vediamo che -h(-x) è l’opposto di h(x), quindi la funzione h(x) = x^3 – x è dispari.

In conclusione, le funzioni pari sono quelle in cui f(x) = f(-x), mentre le funzioni dispari sono quelle in cui f(x) = -f(-x). Saper riconoscere se una funzione è pari o dispari è utile per semplificare i calcoli e avere una migliore comprensione delle proprietà delle funzioni. Esercitarci con gli esempi ci aiuta ad applicare queste definizioni e ad aumentare la nostra familiarità con le funzioni pari e dispari.

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