Le con rappresentano un argomento cruciale nello studio della matematica, in particolare dell’algebra. Grazie alla presenza dei valori assoluti, le soluzioni di queste disequazioni possono comportare più intervalli, rendendo l’analisi più complessa rispetto alle tradizionali disequazioni lineari.

Per comprendere meglio il concetto, consideriamo un esempio di disequazione con un valore assoluto: |2x – 5| < 7. Innanzitutto, scomponiamo l'equazione in due casi separati, uno per l'interno del valore assoluto positivo e uno per il suo negativo opposto. Otteniamo quindi due disequazioni: 2x - 5 < 7 e -(2x - 5) < 7. Risolvendo la prima disequazione, otteniamo 2x < 12, che ci porta a x < 6. Risolvendo invece la seconda, otteniamo -2x + 5 < 7, da cui -2x < 2. Dividendo entrambi i membri per -2, otteniamo x > -1. Pertanto, l’insieme soluzioni per l’intera disequazione è -1 < x < 6. Tuttavia, non tutti gli esempi di disequazioni con valori assoluti possono essere risolti utilizzando questa tecnica semplice. Consideriamo ad esempio l'equazione |3x + 2| - 4 > 5. Ancora una volta, scomponiamo l’equazione in due casi separati: 3x + 2 > 9 e -(3x + 2) > 9.

Per la prima disequazione, otteniamo 3x > 7 e quindi x > 7/3. Per la seconda, otteniamo -3x – 2 > 9, da cui -3x > 11. Dividendo entrambi i membri per -3, otteniamo x < -11/3. Quindi, l'insieme delle soluzioni per l'intera disequazione è x < -11/3 e x > 7/3.

Nel caso in cui il valore assoluto sia combinato con altre espressioni, come nella disequazione |4x + 3| > |2x – 5|, possiamo risolvere il problema considerando sia la condizione in cui entrambi i lati del segno di valore assoluto siano positivi, sia quella in cui entrambi siano negativi. Otteniamo quindi 4x + 3 > 2x – 5 e -(4x + 3) > -(2x – 5).

Risolvendo la prima disequazione, otteniamo 2x > -8 e quindi x > -4. Risolvendo la seconda, otteniamo -4x – 3 > 2x + 5, da cui -6x > 8. Dividendo per -6, otteniamo x < -4/3. Pertanto, l'insieme delle soluzioni per l'intera disequazione è x < -4/3 o x > -4.

In conclusione, le disequazioni con valori assoluti possono essere risolte scomponendo l’equazione in più casi, a seconda dei segni dell’espressione contenuta nel valore assoluto. Spesso, l’insieme delle soluzioni comprende più intervalli, rendendo necessario valutare ogni possibile caso. Questo rende le disequazioni con valori assoluti un argomento interessante e stimolante nel campo dell’algebra e dell’analisi matematica.

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