Como resolver sistemas lineares

Os sistemas lineares são um conjunto de equações que contêm variáveis lineares e devem ser resolvidos para encontrar os valores dessas variáveis. Resolver esses sistemas é uma habilidade importante na matemática e em várias áreas da ciência e engenharia. Felizmente, existem diversos métodos que podemos utilizar para resolver esses sistemas. Neste artigo, vamos apresentar dois dos métodos mais comuns e eficientes para resolver sistemas lineares: o método da substituição e o método da eliminação.

O método da substituição é o mais simples para resolver sistemas de duas equações lineares com duas variáveis. Neste método, isolamos uma variável em uma das equações e substituímos seu valor na outra. A seguir, substituímos esse valor encontrado na segunda equação e resolvemos uma equação com apenas uma variável. Finalmente, substituímos o valor encontrado nessa equação na primeira equação para encontrar o valor da segunda variável. Por exemplo, considere o seguinte sistema de equações:

2x + 3y = 10
4x – 2y = 2

Podemos isolar a variável x na primeira equação e substituir seu valor na segunda equação:

2x = 10 – 3y
x = (10 – 3y)/2

Substituindo esse valor de x na segunda equação, temos:

4((10 – 3y)/2) – 2y = 2
20 – 6y – 2y = 2
-8y = -18
y = -18/-8
y = 9/4

Substituindo o valor de y na primeira equação, encontramos:

2x + 3(9/4) = 10
2x = 10 – 27/4
8x = 28/4 – 27/4
x = 1/4

Portanto, a solução desse sistema é x = 1/4 e y = 9/4.

O método da eliminação é utilizado para resolver sistemas de duas ou mais equações lineares com duas ou mais variáveis. Neste método, multiplicamos uma ou ambas as equações por um número de forma que o coeficiente das variáveis que queremos eliminar sejam iguais em ambas as equações. Em seguida, subtraímos uma equação da outra para eliminar essa variável. Por exemplo, considere o seguinte sistema de equações:

2x + 3y = 10
4x – 2y = 2

Para eliminar a variável y, multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3:

4x + 6y = 20
12x – 6y = 6

Agora subtraímos a segunda equação da primeira:

16x = 14
x = 14/16
x = 7/8

Substituindo o valor encontrado para x na primeira equação, encontramos:

2(7/8) + 3y = 10
14/8 + 3y = 10
3y = 10 – 14/8
3y = 5/4
y = 5/12

Portanto, a solução desse sistema é x = 7/8 e y = 5/12.

Esses são apenas dois métodos para resolver sistemas lineares, mas existem outros métodos mais complexos, como o método da matriz inversa e o método de Gauss-Jordan. Cada método possui suas vantagens e desvantagens, e a escolha do método depende das características do sistema a ser resolvido. É importante lembrar que a resolução de sistemas lineares é um processo sistemático que requer atenção aos detalhes e manipulações de equações, mas com prática e dedicação, é possível resolver qualquer sistema linear de forma eficiente.