Gli definiti sono un argomento fondamentale dell’analisi matematica che permette di calcolare l’area sottesa a una curva. Per comprendere meglio i concetti legati a questa tematica, è essenziale svolgere che mettano in pratica le procedure di calcolo. In questo articolo, esploreremo alcuni esempi di esercizi integrali definiti.

Iniziamo con un esercizio di base. Calcoliamo l’integrale definito dell’espressione f(x) = 2x, nell’intervallo [0, 3]. Per eseguire il calcolo, dobbiamo applicare la formula dell’integrale definito: ∫[a, b] f(x)dx = F(b) – F(a), dove F(x) è la funzione primitiva di f(x). Nel nostro caso, la funzione primitiva di 2x è x^2. Quindi, procediamo al calcolo: F(3) – F(0) = 3^2 – 0^2 = 9.

Passiamo ora a un esercizio leggermente più complesso. Consideriamo l’integrale definito dell’espressione g(x) = 3x^2 + 2x, nell’intervallo [-1, 2]. Per risolvere questo esercizio, dobbiamo suddividere l’intervallo di integrazione in modo da calcolare i singoli integrali e poi sommarli. Applichiamo nuovamente la formula dell’integrale definito: ∫[-1, 2] g(x)dx = ∫[-1, 2] (3x^2 + 2x)dx. Per calcolare i singoli integrali, utilizziamo le regole di integrazione. L’integrale di 3x^2 è x^3 e l’integrale di 2x è x^2. Quindi, calcoliamo: [x^3 + x^2] da -1 a 2 = (2^3 + 2^2) – (-1^3 + (-1)^2) = 8 + 4 – (-1 + 1) = 12.

Proseguiamo con un esercizio che richiede l’utilizzo del teorema fondamentale del calcolo in combinazione con una funzione trigonometrica. Consideriamo l’integrale definito dell’espressione h(x) = cos(x), nell’intervallo [0, π]. Questo esercizio ci permette di osservare la relazione tra la funzione trigonometrica e l’area sottesa a una curva. Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo, secondo cui l’integrale definito di una funzione f(x) può essere calcolato come la differenza tra la funzione primitiva F(x) valutata nei punti di estremo. Nel caso presente, la funzione primitiva di cos(x) è sin(x). Quindi, calcoliamo: sin(π) – sin(0) = 0 – 0 = 0.

Infine, consideriamo un esercizio che richiede l’applicazione dei concetti di integrali definiti per calcolare l’area sottesa a una curva non polinomiale. Prendiamo l’integrale definito dell’espressione k(x) = e^x, nell’intervallo [0, 1]. In questo caso, dobbiamo utilizzare le tecniche di calcolo degli integrali indefiniti per ottenere la funzione primitiva di e^x, che è sempre e^x. Quindi, calcoliamo: e^1 – e^0 = e – 1.

In conclusione, gli esercizi sugli integrali definiti sono fondamentali per comprendere appieno i concetti legati a questa tematica. Attraverso la pratica di questi esercizi, siamo in grado di applicare le formule appropriate e utilizzare le regole di integrazione per calcolare gli integrali definiti. Inoltre, la soluzione degli esercizi ci consente di apprezzare l’importanza dell’area sottesa a una curva e di comprendere l’applicazione pratica degli integrali definiti in diverse situazioni matematiche.

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