Le equazioni e le rappresentano sfide particolari nel campo della matematica. Spesso possono sembrare complesse a causa delle frazioni presenti, ma con un po’ di pratica e l’applicazione di alcune regole, è possibile risolverle in modo efficace.

Cominciamo con le equazioni fratte. Queste sono equazioni in cui almeno una delle incognite compare nel denominatore di una frazione. Per risolverle, si dovrebbe cominciare con la moltiplicazione di entrambi i membri dell’equazione per il denominatore comune. In questo modo si sbarazzerebbe delle frazioni, ottenendo un’equazione lineare che può essere risolta facilmente. Dopodiché, occorre verificare che la soluzione trovata sia accettabile rispetto ai valori possibili dell’incognita.

Mettiamo ad esempio l’equazione (3/x) + 2 = 1. Per eliminare la frazione, moltiplicheremo entrambi i membri per x:

(x * 3/x) + (x * 2) = 1 * x
3 + 2x = x
2x – x = -3
x = -3

Ma dobbiamo tenere in considerazione che il denominatore non può essere uguale a 0, quindi la soluzione accettabile è: x ≠ 0.

Passiamo ora alle disequazioni fratte. Queste rappresentano le disuguaglianze con almeno una frazione nell’equazione. La strada da seguire per risolverle è simile a quella per le equazioni fratte. La differenza principale sta nel trattamento dei segni.

Supponiamo di dover la disequazione (4/x) ≤ 2. Iniziamo moltiplicando entrambi i membri per x:

(x * 4/x) ≤ 2 * x
4 ≤ 2x

Ora dobbiamo considerare due casi a seconda del segno di x: se x è positivo, l’ineguaglianza rimane invariata; se x è negativo, l’ineguaglianza si inverte. Pertanto, otteniamo:

Caso 1: se x > 0, allora 4 ≤ 2x. Dividendo entrambi i membri per 2 otteniamo:
2 ≤ x.

Caso 2: se x < 0, allora 4 ≤ 2x si inverte in 2x ≤ 4. Dividendo entrambi i membri per 2 otteniamo: x ≤ 2. Quindi le ammissibili per questa disequazione fratta sono x tale che 2 ≤ x se x è positivo, e x ≤ 2 se x è negativo. Risolvere equazioni e disequazioni fratte richiede anche di prestare attenzione alle restrizioni sulle soluzioni possibili. Queste sono le condizioni in cui l'equazione o la disequazione sono valide e accettabili. Possiamo individuarle cercando i valori per cui il denominatore della frazione si annulla (sempre a condizione che sia diverso da zero nella disequazione). I valori che soddisfano queste condizioni sono esclusi dal dominio della variabile e quindi non possono essere soluzioni. In conclusione, risolvere equazioni e disequazioni fratte richiede un approccio specifico che coinvolge l'eliminazione delle frazioni e la considerazione dei segni. Una volta padroneggiata questa tecnica, queste equazioni diventeranno più facili da risolvere. Inoltre, è importante prestare attenzione alle restrizioni sulle soluzioni al fine di ottenere una risposta completa e accurata.

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