La risoluzione delle disuguaglianze goniometriche rappresenta una tappa fondamentale nello studio delle funzioni trigonometriche. Questo concetto permette di determinare gli intervalli in cui una determinata espressione è vera e, di conseguenza, di ricavare le soluzioni corrispondenti.

Per risolvere una disuguaglianza goniometrica, è necessario seguire alcune regole precise. Iniziamo prendendo in considerazione le funzioni seno e .

Per poter risolvere una disuguaglianza contenente una delle due funzioni, dobbiamo innanzitutto trovare l’intervallo in cui la è positiva o negativa. Ricordiamo che il seno è positiva o nulla negli intervalli [0, π] e [2π, 3π] e negativa negli intervalli [π, 2π] e [3π, 4π]. Il coseno, invece, è positivo o nulla negli intervalli [0, π/2] e [3π/2, 2π] e negativo negli intervalli [π/2, 3π/2] e [2π, 3π/2].

Supponiamo di avere la seguente disuguaglianza: sin(x) > 0. Per risolverla, dobbiamo stabilire in quali intervalli il seno è positivo. Dobbiamo quindi considerare l’intervallo [0, π] e il suo multiplo intero, ovvero [2π, 3π]. Questo significa che le soluzioni dell’equazione saranno tutti gli angoli x appartenenti agli intervalli precedentemente indicati.

Supponiamo invece di avere la seguente disuguaglianza: cos(x) < 0. In questo caso, dobbiamo individuare gli intervalli in cui il coseno è negativo. Consideriamo quindi [π/2, 3π/2] e il suo multiplo intero, che corrisponde a un angolo compreso tra 90° e 270°. Le soluzioni dell'equazione saranno gli angoli x appartenenti a questi intervalli. Le disuguaglianze goniometriche possono anche coinvolgere più di una funzione trigonometrica. In questo caso, si procede alla risoluzione delle disuguaglianze a parte, per poi unire i risultati ottenuti. Ad esempio, supponiamo di avere la seguente disuguaglianza: sin(x) > 0 e cos(x) < 0. Dobbiamo trovare gli intervalli in cui entrambe le funzioni sono soddisfatte e unire i risultati. In questo caso, i due intervalli individuati saranno [π/2, π] e [3π/2, 2π]. Pertanto, le soluzioni dell'equazione saranno gli angoli x appartenenti a questi intervalli. In conclusione, la risoluzione delle disuguaglianze goniometriche rappresenta una tappa fondamentale nello studio delle funzioni trigonometriche. Per risolvere tali disuguaglianze, è necessario conoscere gli intervalli in cui le funzioni seno e coseno sono positive o negative. Inoltre, in caso di disuguaglianze multiple, è necessario individuare gli intervalli in cui tutte le funzioni coinvolte sono soddisfatte, per poi unire i risultati. Questo processo permette di ricavare le soluzioni corrispondenti all’equazione goniometrica data.

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