Gli sulla diseguazione con sono un argomento fondamentale nello studio matematica. Il valore assoluto di un numero rappresenta la distanza tra quel numero e lo zero sulla retta numerica. Questo concetto è molto utile per risolvere problemi che coinvolgono disuguaglianze, in quanto ci permette di considerare solo la distanza dei numeri dalla retta degli zeri, senza considerare il loro segno.

Per comprendere meglio come risolvere esercizi di disuguaglianza con valore assoluto, prendiamo in considerazione alcune situazioni comuni. Ad esempio, supponiamo di dover i valori di x che soddisfano l’equazione |x+3| ≤ 5. Per risolvere questa disuguaglianza, dobbiamo considerare due casi: uno in cui l’espressione dentro il valore assoluto è positiva e uno in cui è negativa.

Iniziamo con il caso in cui l’espressione all’interno del valore assoluto è positiva. Quindi, l’equazione diventa x+3 ≤ 5. Sottraendo 3 da entrambi i lati, otteniamo x ≤ 2.

Passiamo ora al caso in cui l’espressione all’interno del valore assoluto è negativa. In questo caso, l’equazione diventa -(x + 3) ≤ 5. Moltiplichiamo entrambi i lati per -1 (ricordando di invertire il segno della disuguaglianza) per ottenere x + 3 ≥ -5. Sottraendo 3 da entrambi i lati, otteniamo x ≥ -8.

Quindi, la soluzione dell’equazione |x+3| ≤ 5 è -8 ≤ x ≤ 2. Questo significa che tutti i valori di x compresi tra -8 e 2, inclusi gli estremi, soddisfano l’equazione. Possiamo anche rappresentare questa soluzione su una retta numerica, mostrando il segmento che va da -8 a 2 e includendo i due punti estremi.

Altre disuguaglianze con valore assoluto possono richiedere più passaggi per essere risolte. Ad esempio, consideriamo l’equazione |2x – 1| > 3. Anche in questo caso, dobbiamo considerare due casi: uno in cui l’espressione all’interno del valore assoluto è positiva e uno in cui è negativa.

Nel primo caso, l’equazione diventa 2x – 1 > 3. Aggiungendo 1 a entrambi i lati, otteniamo 2x > 4. Dividendo entrambi i lati per 2, otteniamo x > 2.

Nel secondo caso, l’equazione diventa -(2x – 1) > 3. Moltiplicando entrambi i lati per -1 (invertendo il segno della disuguaglianza), otteniamo 2x – 1 < -3. Aggiungendo 1 a entrambi i lati, otteniamo 2x < -2. Dividendo entrambi i lati per 2, otteniamo x < -1. Quindi, la soluzione dell'equazione |2x - 1| > 3 è x < -1 o x > 2. Possiamo rappresentare questa soluzione su una retta numerica segnando i punti -1 e 2 e mostrando che la soluzione si trova al di fuori di questi due valori.

In conclusione, gli esercizi sulla disuguaglianza con valore assoluto sono molto importanti per la comprensione della matematica. Ci aiutano a risolvere problemi che coinvolgono numeri sia positivi che negativi, considerando solo la distanza dai valori sulla retta numerica. Risolvere questi esercizi richiede attenzione ai diversi casi e precisione nel calcolo.

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