L’integrazione per parti è una tecnica di integrazione molto utile in matematica, che ci permette di calcolare l’integrale di una funzione più complicata, decomponendola in più semplici. Questa tecnica, che deriva dalla formula di Leibniz per la derivazione del prodotto di due funzioni, ci permette di trovare l’integrale di funzioni che non sarebbero facilmente risolvibili con altre tecniche di integrazione.

La formula fondamentale dell’integrazione per parti è:

∫u dv = uv – ∫v du

dove u e v sono due funzioni di x, dv è la differenziale di v rispetto a x e du è la differenziale di u rispetto a x. Questa formula ci dice che per calcolare l’integrale della funzione u dv, dobbiamo prima moltiplicare u e v insieme e poi sottrarre l’integrale della funzione v du.

Per utilizzare questa formula, dobbiamo scegliere la funzione u e la funzione dv in modo tale che il loro prodotto sia più semplice rispetto all’integrazione dell’intera funzione. Ad esempio, se abbiamo un’integrale del tipo:

∫x^2e^x dx

Potremmo scegliere u = x^2 e dv = e^x dx. In questo caso, du = 2x dx e v = e^x. Applicando la formula dell’integrazione per parti, abbiamo:

∫x^2e^x dx = x^2e^x – ∫2xe^x dx

Il secondo integrale è più semplice da calcolare rispetto all’integrale originale, quindi abbiamo semplificato il problema. Oltre a questo, l’integrazione per parti può essere utile per risolvere integrali trascendentali o funzioni che includono la trigonometria.

Ad esempio, consideriamo l’integrale:

∫x sen(x) dx

In questo caso, potremmo scegliere u = x e dv = sen(x) dx. In questo caso, du = dx e v = -cos(x). Applicando l’integrazione per parti, abbiamo:

∫x sen(x) dx = -x cos(x) + ∫cos(x) dx

Il secondo integrale è semplicemente uguale a sen(x), quindi abbiamo semplificato il problema utilizzando l’integrazione per parti.

In conclusione, l’integrazione per parti è una tecnica molto utile per calcolare l’integrale di funzioni che non sarebbero facilmente risolvibili con altre tecniche di integrazione. Questa tecnica ci permette di decomporre la funzione in funzioni più semplici, semplificando il problema. Tuttavia, è importante scegliere le funzioni u e dv in modo corretto, in modo che il loro prodotto sia più semplice rispetto all’integrale originale, al fine di ottenere il massimo vantaggio dall’utilizzo di questa tecnica.

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