Le complesse rappresentano un argomento molto interessante e complesso nel campo della matematica. Esse combinano l’uso delle e delle per esprimere numeri complessi in forma frazionaria. Vediamone qualche esempio.

Iniziamo con una semplice frazione complessa: (2+3i)^2 / (1-2i). Per svolgerla, dobbiamo prima calcolare il quadrato del numeratore (2+3i)^2, che otteniamo moltiplicando questa espressione per sé stessa.

(2+3i)(2+3i) = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i – 9 = -5 + 12i.

Ora possiamo sostituire il numeratore con questo risultato: (-5 + 12i) / (1-2i).

Per semplificare ulteriormente la frazione complessa, moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per il coniugato del denominatore, ottenendo così un numero reale nel denominatore.

Il coniugato di (1-2i) è (1+2i).

(-5 + 12i)(1+2i) = (-5 + 12i + 10i – 24i^2) = (-5 + 22i + 24) = 19 + 22i.

Quindi la nostra frazione complessa diventa: (19 + 22i) / (1+2i).

L’ultima frazione è già semplificata e non possiamo semplificarla ulteriormente, quindi abbiamo trovato il risultato finale.

Oltre a calcolare frazioni complesse con potenze e parentesi, è possibile eseguire altre operazioni su di esse, come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione.

Ad esempio, per sommare due frazioni complesse, si sommano i numeratori e si mantiene lo stesso denominatore.

(2+3i) + (4-5i) = 2 + 4 + (3i – 5i) = 6 – 2i.

Per la sottrazione, si sottraggono i numeratori e si mantiene lo stesso denominatore.

(2+3i) – (4-5i) = 2 – 4 + (3i + 5i) = -2 + 8i.

La moltiplicazione di due frazioni complesse si esegue come la moltiplicazione di due frazioni normali, ma con l’uso delle dell’algebra per i numeri immaginari.

(2+3i) * (4-5i) = 2 * 4 + (2 * -5i + 3i * 4 + 3i * -5i) = 8 + (-10i + 12i – 15i^2) = 8 + 2i + 15 = 23 + 2i.

Infine, la divisione di due frazioni complesse si esegue moltiplicando il numeratore e il denominatore per il coniugato del denominatore, in modo da ottenere un denominatore reale.

(2+3i) / (4-5i) = (2+3i)(4+5i) / (4-5i)(4+5i) = (8 + 10i + 12i + 15i^2) / (16 + 20i – 20i – 25i^2) = (8 + 22i – 15) / (16 + 25) = -7 + 22i / 41 = -7/41 + 22i/41.

Le frazioni complesse con potenze e parentesi possono sembrare complicate, ma una volta comprese le regole di base, diventa più semplice svolgerle. Queste operazioni sono ampiamente utilizzate nella fisica, nell’ingegneria e in molti altri campi scientifici, quindi è importante familiarizzarsi con esse per avere una solida base di matematica.

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