Gli esercizi sullo studio delle funzioni sono fondamentali per acquisire una buona padronanza della materia e per sviluppare la capacità di analizzare e comprendere il comportamento delle funzioni matematiche. In questo articolo, presenteremo alcune soluzioni per esercizi comuni che coinvolgono lo studio delle funzioni.

Esercizio 1: Identificare il dominio di una funzione
Dato l’equazione f(x) = √(4x – 3), dobbiamo identificare il dominio della funzione. La radice quadrata di un numero reale è definita solo se il radicando è maggiore o uguale a zero. Quindi, il radicando 4x – 3 deve essere maggiore o uguale a zero. Risolvendo l’inequazione, otteniamo:

4x – 3 ≥ 0
4x ≥ 3
x ≥ 3/4

Quindi, il dominio della funzione è dato dallo stesso intervallo: x ≥ 3/4.

Esercizio 2: Studiare la parità di una funzione
Dato l’equazione f(x) = x^2 + 3x – 2, dobbiamo studiare la parità della funzione. Una funzione è pari se f(-x) = f(x) per ogni valore di x nel suo dominio. Applichiamo quindi questa definizione alla funzione data:

f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) – 2
= x^2 – 3x -2

Osserviamo che f(-x) è diverso da f(x), quindi la funzione non è pari. Possiamo inoltre osservare che cambiando il segno di x nella funzione, otteniamo una funzione diversa, quindi la funzione è dispari.

Esercizio 3: Trovare il punto di intersezione tra due funzioni
Dato il sistema di equazioni:
f(x) = 2x + 1
g(x) = x^2 + 3

Dobbiamo trovare il punto di intersezione tra le due funzioni. Per farlo, dobbiamo trovare valori di x che soddisfino entrambe le equazioni. Possiamo farlo eguagliando le due funzioni:

2x + 1 = x^2 + 3
x^2 – 2x + 2 = 0

Non è possibile risolvere questa equazione in modo esatto, quindi utilizzeremo il metodo di completamento del quadrato per trovare le soluzioni approssimate. Completando il quadrato, otteniamo:

(x – 1)^2 + 1 = 0

Da questa equazione, possiamo vedere che non ci sono soluzioni reali. Quindi, le due funzioni non hanno punti di intersezione.

Questi sono solo alcuni esempi di esercizi sullo studio delle funzioni e delle relative soluzioni. La pratica di esercitarsi con questi tipi di problemi aiuta ad acquisire una migliore comprensione delle funzioni matematiche e delle loro proprietà. È importante ricordare di sempre verificare attentamente le soluzioni e utilizzare i metodi appropriati per risolvere gli esercizi.

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