Esercizi sulla di svolti

La divisione di polinomi è una delle operazioni fondamentali nello studio dell’algebra. Per risolvere questo tipo di è necessario applicare la regola della divisione dei polinomi, che prevede diverse fasi da seguire attentamente. Vediamo insieme alcuni esercizi svolti per comprendere meglio come funziona questa operazione.

Esercizio 1:
Dividere il polinomio P(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x – 1 per il polinomio Q(x) = x – 2.

Soluzione:
Per eseguire la divisione tra questi due polinomi, dobbiamo seguire la procedura step by step.
1. Riordiniamo i monomi di P(x) in ordine decrescente dei loro esponenti: 2x^3 – 5x^2 + 3x – 1.
2. Controlliamo il grado dei polinomi P(x) e Q(x): il grado di P(x) è 3 mentre quello di Q(x) è 1. Quindi il grado del polinomio che otterremo come quoziente sarà 2 (grado di P(x) – grado di Q(x)).
3. Procediamo con la divisione: il primo termine del quoziente sarà il risultato della divisione tra il primo termine del polinomio dividendoe il primo termine del polinomio divisore. Quindi:
– Il primo termine del quoziente sarà 2x^2 (2x^3 diviso per x).
– Moltiplichiamo il polinomio divisore per il primo termine del quoziente: 2x^2 * (x – 2) = 2x^3 – 4x^2.
– Sottraiamo il polinomio ottenuto dal polinomio dividendee troviamo il resto della divisione: P(x) – (2x^3 – 4x^2) = -x^2 + 3x – 1.
4. Ripetiamo il processo con il nuovo polinomio individuato nel punto precedente (resto) e il polinomio divisore Q(x). Il nuovo termine del quoziente sarà il risultato della divisione tra il primo termine del polinomio dividendee il primo termine di Q(x). Quindi;
– Il secondo termine del quoziente sarà -x (x^2 diviso per x).
– Moltiplichiamo il polinomio divisore per il secondo termine del quoziente: -x * (x – 2) = -x^2 + 2x.
– Sottraiamo il polinomio ottenuto dal nuovo polinomio individuato nel punto precedente e troviamo il nuovo resto: -x^2 + 3x – 1 – (-x^2 + 2x) = x – 1.
5. Ripetiamo il processo con il nuovo polinomio individuato nel punto precedente (nuovo resto) e il polinomio divisore Q(x). Poiché il grado di questo nuovo polinomio (x – 1) è minore di quello di Q(x) (1 < 2), la divisione è terminata e il polinomio ottenuto come quoziente è 2x^2 - x. Esercizio 2: Dividere il polinomio P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 5x + 1 per il polinomio Q(x) = x^2 - 1. Soluzione: Seguiamo i passaggi della procedura di divisione dei polinomi per risolvere questo esercizio: 1. Riordiniamo i monomi di P(x) in ordine decrescente dei loro esponenti: 3x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 5x + 1. 2. Controlliamo il grado dei polinomi P(x) e Q(x): il grado di P(x) è 4, mentre quello di Q(x) è 2. Quindi il grado del polinomio che otterremo come quoziente sarà 2 (grado di P(x) - grado di Q(x)). 3. Procediamo con la divisione: - Il primo termine del quoziente sarà il risultato della divisione tra il primo termine del polinomio dividendoe il primo termine del polinomio divisore. Quindi il primo termine del quoziente sarà 3x^2 (3x^4 diviso per x^2). - Moltiplichiamo il polinomio divisore per il primo termine del quoziente: 3x^2 * (x^2 - 1) = 3x^4 - 3x^2. - Sottraiamo il polinomio ottenuto dal polinomio dividendee troviamo il resto della divisione: P(x) - (3x^4 - 3x^2) = 4x^2 - 5x + 1. 4. Ripetiamo il processo con il nuovo polinomio individuato nel punto precedente (resto) e il polinomio divisore Q(x). - Il secondo termine del quoziente sarà il risultato della divisione tra il primo termine del polinomio dividendee il primo termine di Q(x). Quindi il secondo termine del quoziente sarà 4 (4x^2 diviso per x^2). - Moltiplichiamo il polinomio divisore per il secondo termine del quoziente: 4 * (x^2 - 1) = 4x^2 - 4. - Sottraiamo il polinomio ottenuto dal nuovo polinomio individuato nel punto precedente e troviamo il nuovo resto: 4x^2 - 5x + 1 - (4x^2 - 4) = -5x + 5. 5. Ripetiamo il processo con il nuovo polinomio individuato nel punto precedente (nuovo resto) e il polinomio divisore Q(x). Poiché il grado di questo nuovo polinomio (-5x + 5) è minore di quello di Q(x) (1 < 2), la divisione è terminata e il polinomio ottenuto come quoziente è 3x^2 + 4. La divisione di polinomi può sembrare complessa all'inizio, ma seguendo la procedura passo dopo passo e applicando le regole corrette, è possibile risolvere gli esercizi in modo accurato. Praticare con diversi esercizi di divisione di polinomi permetterà di consolidare la comprensione di questa operazione matematica.

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