Esercizi sul Sistema a Tre Incognite

Il sistema a tre incognite è uno degli argomenti principali dell’algebra lineare, una branca della matematica che si occupa dello studio delle equazioni lineari e dei loro sistemi. Risolvere un sistema a tre incognite richiede delle competenze specifiche e una buona conoscenza delle regole di base dell’algebra.

Per fare pratica con questo tipo di esercizi, proviamo a risolvere alcuni problemi che ci permetteranno di comprendere meglio come funziona il sistema a tre incognite.

Esercizio 1:
Consideriamo il seguente sistema:

2x + 3y – z = 10
x – 2y + 4z = 4
3x + y – 2z = 2

Per risolvere il sistema, possiamo utilizzare il metodo della sostituzione o il metodo della riduzione. Iniziamo con il metodo della sostituzione:

Dalla prima equazione, otteniamo:
x = (10 – 3y + z) / 2

Sostituendo x nella seconda e terza equazione, otteniamo rispettivamente:
(10 – 3y + z) / 2 – 2y + 4z = 4
(10 – 3y + z) / 2 + y – 2z = 2

Risolvendo le equazioni ottenute, troviamo il valore di y:
10 – 3y + z – 4y + 8z = 8
10 – 3y + z + 2y – 4z = 4

Otteniamo quindi:
-7y + 9z = -2
-y – 3z = -6

A questo punto, possiamo risolvere il sistema di due equazioni:
-7y + 9z = -2 [1]
-y – 3z = -6 [2]

Moltiplichiamo la seconda equazione per -7 e sommiamola alla prima:
-7y + 9z – (-7y – 21z) = -2 – (-42)
30z = -40

Dividendo entrambi i membri per 30, troviamo il valore di z:
z = -40 / 30
z = -4/3

Sostituendo z nella seconda equazione del sistema di due incognite, otteniamo il valore di y:
-y – 3(-4/3) = -6
-y + 4 = -6
-y = -10
y = 10

Infine, sostituendo sia y che z nella prima equazione del sistema originale, troviamo il valore di x:
2x + 3(10) – (-4/3) = 10
2x + 30 + 4/3 = 10
2x + 94/3 = 10
2x = 10 – 94/3
2x = -64/3
x = -32/3

Pertanto, la soluzione del sistema è:
x = -32/3, y = 10, z = -4/3

Esercizio 2:
Consideriamo ora il seguente sistema:

x + 2y – z = 5
3x + y + 6z = 7
2x – y – z = -1

Ancora una volta, utilizzeremo il metodo della sostituzione:

Dalla prima equazione, otteniamo:
x = 5 – 2y + z

Sostituendo x nella seconda e terza equazione, otteniamo rispettivamente:
3(5 – 2y + z) + y + 6z = 7
2(5 – 2y + z) – y – z = -1

Risolvendo le equazioni ottenute, troviamo il valore di y e di z:
15 – 6y + 3z + y + 6z = 7
10 – 4y + 2z – y – z = -1

Risolvendo le equazioni, otteniamo:
-5y + 9z = -8
-5y + z = -11

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, otteniamo:
8z – (-11z) = -8 – (-11)
19z = 3
z = 3/19

Sostituendo z nella seconda equazione del sistema di due incognite, otteniamo il valore di y:
-5y + (3/19) = -11
-5y = -11 – (3/19)
-5y = -227/19
y = 227/95

Infine, sostituendo sia y che z nella prima equazione del sistema originale, troviamo il valore di x:
x + 2(227/95) – (3/19) = 5
x + 454/95 – 3/19 = 5
x + 454/95 – 285/95 = 5
x + 169/95 = 5
x = 385/95

Pertanto, la soluzione del sistema è:
x = 385/95, y = 227/95, z = 3/19

Risolvere esercizi sul sistema a tre incognite richiede un po’ di pratica e pazienza, ma con una buona conoscenza delle regole dell’algebra lineare, è possibile raggiungere la soluzione corretta. L’importante è prendersi il tempo necessario per capire le equazioni e applicare i metodi corretti. Buon allenamento!