Le funzioni sono un concetto base della matematica che ci permettono di descrivere molte relazioni e fenomeni reali attraverso formule matematiche. In particolare, quando parliamo di funzioni, spesso ci riferiamo al loro dominio, cioè l’insieme di valori di input che possono essere forniti alla funzione. Tuttavia, un’altra informazione importante che possiamo ottenere riguarda il codominio e il rango della funzione.

Ma cosa sono il codominio e il rango di una funzione? Il codominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori di output che la funzione può restituire. In altre parole, rappresenta l’intervallo di valori di output a cui la funzione può accedere. Il rango, d’altra parte, è l’insieme di tutti i valori effettivamente assunti dalla funzione quando vengono forniti diversi valori di input. In generale, il codominio coincide con il rango solo se la funzione è suriettiva, cioè se ogni valore dell’intervallo di output viene effettivamente raggiunto dalla funzione.

Ma come possiamo trovare il codominio o il rango di una funzione? Ci sono alcune tecniche che possiamo utilizzare per ottenere queste informazioni.

Per trovare il codominio, una strategia può essere quella di analizzare la formula della funzione e cercare di determinare gli estremi inferiori e superiori dell’intervallo di output. Ad esempio, se stiamo lavorando con una funzione quadratica come y = x^2, possiamo ricordare che il suo grafico è una parabola che si apre verso l’alto e che il minimo valore di y è 0, che viene raggiunto quando x è uguale a 0. Inoltre, il valore massimo di y non ha limiti superiori, in quanto la parabola si estende all’infinito sia nell’asse x che nell’asse y. Pertanto, il codominio di questa funzione è l’intervallo .

Per trovare il rango, invece, dobbiamo valutare la funzione per diversi valori di input e vedere quali sono i valori effettivamente assunti dalla funzione. Ad esempio, se abbiamo una funzione esponenziale come y = 2^x, possiamo valutare la funzione per alcuni valori di x e ottenere i corrispondenti valori di y:

– per x = -1, y = 1/2
– per x = 0, y = 1
– per x = 1, y = 2
– per x = 2, y = 4

In questo caso, possiamo notare che la funzione assume tutti i valori positivi, ma non assume mai lo 0 o i valori negativi. Pertanto, il rango di questa funzione è l’intervallo (0, ∞).

In generale, trovare il codominio o il rango di una funzione può richiedere un po’ di analisi matematica, ma è un’operazione importante per capire le proprietà della funzione e come essa si comporta per diversi input. Con queste informazioni, possiamo fare previsioni sui possibili output della funzione e utilizzarla in modo più efficace nella risoluzione di problemi e nel modellamento dei fenomeni reali.

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