Come risolvere le equazioni esponenziali

Prima di iniziare, è importante ricordare che le equazioni esponenziali sono equazioni dove le incognite sono presenti come esponenti. Dunque, nell’equazione ax^b​ = c, x rappresenta l’incognita e b l’esponente. L’obiettivo è trovare il valore di x che soddisfa l’equazione.

La prima cosa da fare per risolvere un’equazione esponenziale è portare la base dell’esponente a un valore unico, preferibilmente 10 o e (numero di Nepero). Per fare ciò, si deve utilizzare la proprietà degli esponenti logaritmici: log a^b​ = b * log a.

Quando si ha un esponente contenente una base diversa da 10 o e, si può effettuare una sostituzione e ricavare l’esponente appropriato. Ad esempio, 2^x = 8 può essere risolto sostituendo 8 con 2^3​, in modo da ottenere 2^x = 2^3​.

A questo punto, si può utilizzare la proprietà degli esponenti che dice che, se ax​ = ay​, allora x = y. Dunque, si può eliminare la base dall’equazione e risolverla con un’equazione lineare.

Esempio: 2^x = 32. Sostituendo 32 con 2^5​, l’equazione diventa 2^x = 2^5​. Eliminando la base, si ottiene x = 5. Quindi la soluzione dell’equazione è x = 5.

In caso si abbia un’equazione del tipo a^(bx+c) = d, si può trasformare in a^bx * a^c​ = d, poi l’equazione diventerà a^bx = d / a^c​ e, infine, log a^bx = log(d / a^c). Sfruttando la proprietà degli esponenti logaritmici, si può scrivere x*log a^b = log(d / a^c) e ottenere x = (1/b)*log(d / a^c).

Esempio: 3^(4x-3) = 27. Trasformando l’equazione in 3^(4x) * 3^(-3) = 27, si ha 3^(4x) = 81. Utilizzando la proprietà degli esponenti logaritmici, si ottiene log3(81) = 4x, da cui x = (1/4)*log3(81). Quindi la soluzione dell’equazione è x = 1,5.

Infine, un’altra importante proprietà da conoscere per risolvere le equazioni esponenziali è quella che dice che a^0​ = 1, per qualsiasi valore di a diverso da 0. Dunque, se si ha un’equazione del tipo ax + b = c, si può sottrarre b ad entrambi i membri dell’equazione e poi dividere per a. L’esponente, dunque, sarà 0 e la soluzione dell’equazione sarà x = (c-b)/a.

Esempio: 2^(3x+1) = 16. Trasformando l’equazione in 2^(3x) * 2^1​ = 16, si ha 2^(3x) = 8. Sottraendo 1 ad entrambi i membri e dividendo per 3, si ottiene 2^(x-1) = 2. Dunque, x – 1 = 1 e la soluzione dell’equazione è x = 2.

In conclusione, la risoluzione delle equazioni esponenziali richiede una buona conoscenza delle proprietà degli esponenti e degli esponenti logaritmici. Con un po’ di pratica, tuttavia, risolverle diventerà facile e veloce.