Gli sono un concetto fondamentale nello studio delle funzioni matematiche. Si tratta di rette che la funzione si avvicina sempre di più, ma senza mai toccarle. In altre parole, rappresentano i valori a cui la funzione si avvicina infinitamente quando l’argomento si avvicina all’infinito. Negli di esercitazione che seguiremo, approfondiremo questo importante concetto.

Partiamo da una funzione semplice: f(x) = 1/x. Per trovare gli asintoti di questa funzione, dobbiamo studiarne il comportamento quando x si avvicina all’infinito o meno. Se x tende a infinito, la funzione si avvicina sempre più a zero, ma non la tocca mai. Quindi, abbiamo un asintoto orizzontale all’asse delle x a y = 0.

Per determinare gli asintoti verticali, osserviamo cosa succede a f(x) quando x si avvicina a valori molto grandi o piccoli. Se avviciniamo x a zero, la funzione si avvicina all’infinito, ma non raggiunge mai un valore specifico. Quindi, abbiamo un asintoto verticale all’asse delle y a x = 0.

Continuando con gli esercizi di esercitazione, consideriamo la funzione g(x) = (x^2 + 1) / (x – 1). Iniziamo cercando gli asintoti orizzontali. Per , dobbiamo studiare il comportamento di g(x) quando x tende all’infinito o meno. Se avviciniamo x all’infinito, la funzione si avvicina a x^2, quindi abbiamo un asintoto orizzontale a y = x^2.

Per trovare gli asintoti verticali, dobbiamo vedere cosa succede a g(x) quando x si avvicina al valore in cui il denominatore si annulla, cioè x = 1. Se x tende a 1, il denominatore si avvicina a zero, quindi dobbiamo controllare il comportamento del numeratore. Possiamo fare ciò scomponendo g(x) in $(x + 1) (x – 1) / (x – 1)$. Notiamo che sia nel numeratore che nel denominatore c’è un fattore (x – 1), che possiamo semplificare. Quindi, abbiamo un asintoto verticale a x = 1.

Procediamo con un altro esercizio: h(x) = (x^2 – 4) / (x – 2). Iniziamo cercando gli asintoti orizzontali. Per fare ciò, dobbiamo analizzare il comportamento di h(x) quando x tende all’infinito o meno. Vediamo che se x si avvicina a infinito, la funzione si avvicina a x^2, quindi abbiamo un asintoto orizzontale a y = x^2.

Per trovare gli asintoti verticali, dobbiamo osservare cosa succede a h(x) quando x si avvicina al valore in cui il denominatore si annulla, cioè x = 2. Se x tende a 2, il denominatore si annulla e dobbiamo controllare il comportamento del numeratore. Otteniamo (x + 2) (x – 2) / (x – 2) = x + 2. Quindi, abbiamo un asintoto verticale a x = 2.

In conclusione, gli asintoti sono importanti per comprendere il comportamento delle funzioni matematiche. Negli esercizi di esercitazione che abbiamo svolto, abbiamo trovato gli asintoti orizzontali e verticali di diverse funzioni, come 1/x, (x^2 + 1) / (x – 1) e (x^2 – 4) / (x – 2). Questi esercizi ci aiutano a consolidare la nostra comprensione di questo fondamentale concetto matematico.

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