Gli sono un argomento fondamentale nello studio delle funzioni matematiche. Questi asintoti descrivono il comportamento di una quando la variabile indipendente tende all’infinito o almeno verso uno dei suoi valori massimi o minimi. In questo articolo esploreremo alcuni sugli asintoti obliqui e vedremo come risolverli.

Per iniziare, consideriamo la seguente funzione: f(x) = (3x^2 + 2x + 5) / (2x + 1). Il primo passo per trovare gli asintoti obliqui è il limite quando x tende all’infinito. Possiamo dividere il numeratore e il denominatore per x per ottenere f(x) = (3 + 2/x + 5/x^2) / (2/x + 1/x). Considerando solo i termini principali, otteniamo f(x) ≈ 3 / 2x. Quindi, il limite quando x tende all’infinito è 0.

Ora dobbiamo calcolare il valore di b per l’equazione della retta obliqua y = mx + b. Possiamo fare ciò considerando la differenza tra la funzione originale e la nostra approssimazione: f(x) – (3 / 2x). Dopo alcuni calcoli, otteniamo (3x^2 + 2x + 5) / (2x + 1) – (3 / 2x) = (2x^2 + 2) / (2x + 1), che si semplifica in (2x^2 + 2) / 2x + 1 / (2x + 1). Ora calcoliamo il limite quando x tende all’infinito: lim (2x^2 + 2) / 2x + 1 / (2x + 1) = 2. Quindi, il valore di b per l’equazione della retta obliqua è 2.

Pertanto, l’asintoto obliquo per la funzione f(x) = (3x^2 + 2x + 5) / (2x + 1) è la retta y = (3 / 2)x + 2.

Consideriamo ora un altro esercizio. Supponiamo di avere la funzione g(x) = (x^3 + 2x^2 + 3) / x. Iniziamo calcolando il limite quando x tende all’infinito. Possiamo dividere sia il numeratore che il denominatore per x^3 per ottenere g(x) = (1 + 2/x + 3/x^3) / (1/x^2). Semplificando i termini principali, otteniamo g(x) ≈ (1/x^2) / (1/x^2) = 1.

Ora calcoliamo il valore di b per l’equazione della retta obliqua y = mx + b. La differenza tra la funzione originale e la nostra approssimazione è g(x) – 1 = (x^3 + 2x^2 + 3) / x – 1 = (x^3 + 2x^2 + 3 – x) / x = (x^3 + 2x^2 – x + 3) / x. Calcolando il limite quando x tende all’infinito, otteniamo lim (x^3 + 2x^2 – x + 3) / x = ∞ / ∞, che è una forma indeterminata. Possiamo applicare la regola di L’Hopital e derivare sia il numeratore che il denominatore rispetto a x. Dopo alcuni calcoli, otteniamo lim (3x^2 + 4x – 1) / 1 = ∞. Quindi, il valore di b per l’equazione della retta obliqua è ∞.

Pertanto, l’asintoto obliquo per la funzione g(x) = (x^3 + 2x^2 + 3) / x è la retta y = x + ∞, che indica che la funzione cresce in modo indefinito quando x tende all’infinito.

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