Les intégrales sont un outil mathématique puissant et essentiel en analyse et en calcul différentiel. Elles permettent de trouver l’aire sous une courbe, de calculer des probabilités, de déterminer des quantités moyennes, et bien plus encore. Dans cet article, nous allons examiner comment on fait les intégrales et comment elles sont utilisées en mathématiques et dans d’autres disciplines.

Tout d’abord, qu’est-ce qu’une intégrale ? Une intégrale est essentiellement la somme de petits morceaux ou de tranches infiniment petites. Elle représente une quantité accumulée ou totale. Par exemple, si nous avons une fonction qui représente la vitesse d’un objet en fonction du temps, l’intégrale de cette fonction nous donnera la distance parcourue par l’objet pendant une période donnée.

Pour calculer une intégrale, nous utilisons la notion de limite et de somme. Nous divisons l’intervalle sur lequel nous souhaitons intégrer en petits morceaux (appelés intervalles ou subdivisions) et nous approximons la courbe par des rectangles. Pour chaque petit morceau, nous trouvons l’aire du rectangle correspondant. Plus nous avons de petits morceaux, plus notre approximation sera précise. Ensuite, nous faisons tendre la taille des morceaux vers zéro, ce qui nous donne une somme infinie de rectangles infiniment petits. En mathématiques, cette somme s’appelle une « intégrale ».

La notation couramment utilisée pour représenter une intégrale est l’intégrale définie :

∫ f(x) dx,

où f(x) est la fonction à intégrer et dx représente les petits morceaux de l’axe des x. La notation « ∫ » provient de la lettre S majuscule (pour « somme » en allemand), qui indique que nous sommes en train d’ajouter les petites aires des rectangles.

Une fois que nous avons notre somme infinie de rectangles, nous devons évaluer cette somme pour obtenir une valeur numérique. Pour cela, nous utilisons des techniques de calcul, telles que les règles de calcul intégral. Ces règles nous donnent des formules pour calculer l’intégrale de différentes fonctions. Par exemple, il existe des règles pour les fonctions polynomiales, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, et bien d’autres.

L’intégration est souvent utilisée pour résoudre des problèmes du monde réel. Par exemple, dans la physique, les intégrales sont utilisées pour calculer la position et la vitesse d’un objet en fonction du temps. Dans l’économie, les intégrales sont utilisées pour calculer le revenu total en fonction de la demande et du prix. Dans la probabilité, les intégrales sont utilisées pour calculer la probabilité d’un événement en intégrant la fonction de densité de probabilité sur l’intervalle correspondant.

En résumé, les intégrales sont des outils mathématiques puissants utilisés pour calculer des quantités accumulées ou totales. Elles sont calculées en approximant une courbe avec des rectangles et en faisant tendre la taille des morceaux vers zéro. Les intégrales sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes du monde réel et sont essentielles en mathématiques et dans d’autres disciplines. Leur utilisation exige une connaissance des règles de calcul intégral et des techniques de calcul.

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