Resolvendo desigualdades irracionais com duas raízes

Resolvendo desigualdades irracionais com duas raízes As inequações irracionais são desigualdades que envolvem radicais, e são consideradas diferentes das inequações racionais. Uma inequação adultérioiras com duas raízes ocorre quando temos dois termos com radicais, e a solução da inequação depende das intersecções desses radicais. Para resolver uma inequação desse tipo, é necessário seguir algumas etapas: 1. Isolar o termo com o radical em um dos lados da inequação, deixando o outro lado igual a zero. Por exemplo, suponha que temos a inequação √(x + 3) - √(x - 2) > 1. Neste caso, devemos isolar o termo com o radical à esquerda da inequação e deixar o lado direito igual a zero: √(x + 3) - √(x - 2) - 1 > 0. 2. Elevar ambos os lados da inequação ao quadrado. Ao elevar ao quadrado, eliminamos os radicais e obtemos uma nova inequação que é mais fácil de resolver. No entanto, é importante lembrar que, ao fazer isso, podemos gerar soluções extranas e falsas, por isso é necessário verificar as respostas no final. Aplicando o passo 2 à inequação acima, obtemos: (√(x + 3) - √(x - 2) - 1)^2 > 0. 3. Expandir e simplificar a expressão resultante. Agora, devemos expandir e simplificar toda a expressão obtida no passo 2. Para isso, utilizamos a fórmula: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. No exemplo dado, temos que: ((√(x + 3))^2 - 2√(x + 3)√(x - 2) + (√(x - 2))^2) - 2(√(x + 3) - √(x - 2)) - 1 > 0. Simplificando essa expressão, encontramos: (x + 3) - 2√((x + 3)(x - 2)) + (x - 2) - 2√(x + 3) + 2√(x - 2) - 1 > 0. 4. Rearranjar os termos da inequação de forma que seja possível agrupar os radicais em uma única expressão. No exemplo acima, os radicais podem ser agrupados da seguinte maneira: - 2√((x + 3)(x - 2)) - 2√(x + 3) + 2√(x - 2) + (x + 3) + (x - 2) - 1 > 0. 5. Simplificar a inequação, somando os termos semelhantes. Após a simplificação do passo anterior, a inequação se torna: 2x + 2 - 4√(x + 3) > 0. 6. Resolver a desigualdade obtida. Para resolver esta inequação, basta isolar o termo contendo o radical e encontrar as soluções. No nosso exemplo, temos: -4√(x + 3) > -2x - 2. Simplificando ainda mais, encontramos: √(x + 3) < x + 1/2. Para resolver, devemos realizar uma análise gráfica e verificar para quais valores de x a desigualdade é válida. As soluções para a inequação dependem das intersecções dos conjuntos de solução dos radicais. Se as raízes não se interceptam, a desigualdade não possui soluções. Portanto, a resolução completa de uma inequação irracional com duas raízes envolve diversos passos, como isolar os termos com radicais, elevar ao quadrado, expandir e simplificar a expressão, rearranjar os termos, somar os termos semelhantes e, finalmente, resolver a desigualdade. É essencial verificar as soluções obtidas no final do processo e, se necessário, descartar aquelas que geram resultados falsos.