A Soma de Dois Números Irracionais Sempre Resulta em um Número Irracional

Quando se trata de números irracionais, estamos falando de números que não podem ser expressos como uma fração simples ou em forma decimal finita ou periódica. Esses números são infinitos e não repetitivos, como a raiz quadrada de 2 ou o número Pi.

Muitas vezes surge a dúvida se a soma de dois números irracionais resulta em um número irracional ou se existe alguma possibilidade de obter um número racional. Vamos explorar essa questão para entender melhor.

O que são números irracionais?

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados como uma fração (razão) de dois números inteiros. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) é um número irracional, assim como o número Pi (π) ou a raiz quadrada de 5 (√5).

Exemplo de soma de dois números irracionais

Para ilustrar essa questão, vamos considerar a soma de dois números irracionais específicos: √2 e √3.

Se somarmos √2 + √3, o resultado é um número irracional. Isso pode ser demonstrado utilizando o processo conhecido como prova por contradição.

Vamos supor que √2 + √3 seja um número racional, ou seja, que possa ser expresso como uma fração simples. Podemos escrever:

√2 + √3 = a/b, onde 'a' e 'b' são números inteiros

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

(√2 + √3)^2 = (a/b)^2
2 + 2√6 + 3 = a^2/b^2
5 + 2√6 = a^2/b^2

Agora, vamos isolar a raiz quadrada (√6) de um lado da equação:

2√6 = a^2/b^2 - 5
2√6 = (a^2 - 5b^2)/b^2

Observe que o lado esquerdo é um número irracional (√6), enquanto o lado direito é uma fração. Isso significa que a suposição original de que √2 + √3 é um número racional está errada, pois não podemos ter um número irracional igual a uma fração.

Portanto, podemos concluir que a soma de dois números irracionais como √2 e √3 sempre resultará em um número irracional.

Por que a soma de números irracionais resulta em um número irracional?

Ao somar dois números irracionais, estamos combinando duas quantidades infinitas e não repetitivas. A soma dessas quantidades também será infinita e não se repetirá, resultando em um número que não pode ser expresso como uma fração ou em uma forma decimal finita ou periódica.

Essa propriedade dos números irracionais é fundamental para compreender e explorar conceitos matemáticos mais complexos, como cálculo, teoria dos números e geometria. Sem essa propriedade, muitos dos avanços científicos e tecnológicos que temos hoje não teriam sido possíveis.

A soma de dois números irracionais sempre resultará em um número irracional. Os números irracionais são fundamentais na matemática e na ciência, pois nos permitem representar quantidades infinitas e não repetitivas. A propriedade de que a soma de dois números irracionais é sempre irracional é uma das muitas características fascinantes desses números.

  • Os números irracionais são infinitos e não repetitivos;
  • A soma de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional;
  • A prova por contradição pode ser utilizada para demonstrar essa propriedade;
  • A propriedade da soma de números irracionais é fundamental para diversos estudos matemáticos e científicos.
Quest'articolo è stato scritto a titolo esclusivamente informativo e di divulgazione. Per esso non è possibile garantire che sia esente da errori o inesattezze, per cui l’amministratore di questo Sito non assume alcuna responsabilità come indicato nelle note legali pubblicate in Termini e Condizioni
Quanto è stato utile questo articolo?
0Vota per primo questo articolo!