A tradução de uma elipse e seu eixo de simetria é um conceito importante na geometria analítica. A elipse é uma figura plana que pode ser descrita como uma curva fechada em formato de “oval”. Ela é formada pela interseção de um plano com um cone, de modo que suas distâncias focais são sempre menores do que o diâmetro da elipse. Para traduzir uma elipse, ou seja, mover sua posição em relação a um sistema de coordenadas, três parâmetros são alterados: o deslocamento horizontal, o deslocamento vertical e a rotação em relação ao eixo z.

O primeiro passo para realizar a tradução de uma elipse é identificar os valores dos parâmetros de deslocamento e rotação fornecidos no problema. Esses valores indicarão a nova posição e orientação da elipse em relação ao sistema de coordenadas pré-estabelecido.

Uma vez conhecidos os valores dos parâmetros da tradução, é possível aplicar as fórmulas adequadas para realizar as transformações necessárias. Para o deslocamento horizontal (x) e vertical (y), utiliza-se a seguinte fórmula:

x’ = x + a
y’ = y + b

Onde ‘x’ e ‘y’ representam as coordenadas do ponto original da elipse, ‘x” e ‘y” são as coordenadas do ponto traduzido, e ‘a’ e ‘b’ são os deslocamentos horizontal e vertical, respectivamente.

Já para a rotação (θ) da elipse, a fórmula a ser utilizada é:

x” = x’ * cos(θ) – y’ * sin(θ)
y” = x’ * sin(θ) + y’ * cos(θ)

Onde ‘x” e ‘y” são as coordenadas do ponto após a tradução e rotação, ‘x’ e ‘y’ são as coordenadas do ponto após a tradução, e ‘θ’ é o ângulo de rotação.

Após calcular as novas coordenadas (x” e y”) para cada ponto da elipse inicial, é possível plotar os pontos em um novo sistema de coordenadas, refletindo as alterações realizadas. O resultado será uma elipse com a mesma forma, mas deslocada e/ou rotacionada em relação ao sistema original.

Além da tradução, é importante ressaltar que a elipse também possui um eixo de simetria. Esse eixo é uma reta que passa pelos pontos médios dos segmentos de reta que unem os pontos opostos da elipse. Para encontrar o eixo de simetria, basta localizar esses pontos médios. Essa reta será perpendicular à reta que une os focos da elipse e atravessará o centro da figura.

Em resumo, a tradução de uma elipse envolve o deslocamento horizontal e vertical de cada ponto, bem como a rotação em torno de um ângulo específico. Essas alterações mudam a posição e orientação da elipse em relação a um sistema de coordenadas pré-estabelecido. Além disso, a elipse possui um eixo de simetria que pode ser determinado pelos pontos médios dos segmentos de reta que unem os pontos opostos da figura.

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