As desigualdades lineares são uma parte fundamental do estudo da álgebra e são amplamente aplicadas em diversas áreas, como matemática, economia e engenharia. A resolução de desigualdades lineares envolve o estudo das relações de ordem entre duas expressões matemáticas, utilizando símbolos como < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a) e ≥ (maior ou igual a).
Para resolver desigualdades lineares, é necessário interpretar o problema, manipular as expressões matemáticas e determinar o conjunto solução. Vamos explorar alguns exercícios com esse tema.
Exercício 1:
Resolva a seguinte desigualdade linear: 3x + 4 < 10.
Primeiramente, vamos isolar a incógnita x, subtraindo 4 dos dois lados:
3x < 6.
Em seguida, dividimos ambos os lados por 3 para encontrar o valor de x:
x < 2.
Portanto, a solução dessa desigualdade é o conjunto de todos os números reais menores que 2.
Exercício 2:
Resolva a desigualdade 2x - 5 ≥ 3x + 1.
Nesse caso, devemos isolar a variável x. Começamos subtraindo 2x de ambos os lados da desigualdade e adicionando 5 aos dois lados:
-5 - 1 ≥ 3x - 2x.
Obtemos -6 ≥ x.
Portanto, a solução dessa desigualdade é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a -6.
É importante lembrar que, ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, a direção da desigualdade deve ser invertida.
Exercício 3:
Resolva a desigualdade 4 - 2x ≤ 5.
Vamos começar isolando a variável x. Subtraindo 4 de ambos os lados, temos:
-2x ≤ 1.
Dividindo ambos os lados por -2, devemos ter cuidado em inverter a desigualdade por estarmos multiplicando por um número negativo:
x ≥ -1/2.
Portanto, a solução dessa desigualdade é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a -1/2.
Ao resolver desigualdades lineares com valores absolutos, é necessário considerar as possíveis soluções em ambos os lados do valor absoluto e combinar os resultados.
Exercício 4:
Resolva a desigualdade |3x - 1| > 4.
Para resolver essa desigualdade, devemos considerar os dois casos possíveis:
1) 3x – 1 > 4:
Nesse caso, adicionamos 1 em ambos os lados e dividimos por 3:
3x > 5,
x > 5/3.
2) -(3x – 1) > 4:
Nesse caso, distribuímos o sinal negativo e isolamos x:
-3x + 1 > 4,
-3x > 3,
x < -1.
Portanto, a solução dessa desigualdade é o conjunto de todos os números reais que são maiores que 5/3 ou menores que -1.
A resolução de desigualdades lineares envolve a aplicação de manipulações algébricas e o conhecimento das propriedades matemáticas das desigualdades. Ao praticar exercícios, é possível aprimorar essas habilidades e compreender melhor as relações de ordem presentes nesse tipo de problema. Lembre-se sempre de estar atento às possíveis inversões de desigualdade ao multiplicar ou dividir por números negativos.