A prova do teorema do valor intermediário é um dos conceitos fundamentais da análise matemática. Esse teorema é amplamente utilizado para demonstrar a existência de raízes em uma função contínua.

De acordo com o teorema, se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], e K é um número entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um número c no intervalo (a, b) tal que f(c) = K.

A prova desse teorema é baseada no conceito de continuidade de uma função. Uma função é considerada contínua se, intuitivamente, não apresentar “furos” ou “saltos” em seu gráfico. Em outras palavras, para uma função ser contínua, sua curva não deve ser interrompida ou descontinuada em nenhum ponto.

Para provar o teorema do valor intermediário, suponha que f seja uma função contínua em um intervalo fechado [a, b], e consideremos um número K entre f(a) e f(b). Vamos denotar por A = {x ∈ [a, b] | f(x) < K} e por B = {x ∈ [a, b] | f(x) > K}, ou seja, A é o conjunto dos pontos em que f(x) é estritamente menor do que K e B é o conjunto dos pontos em que f(x) é estritamente maior do que K.

Agora, vamos mostrar que A não é vazio. Como K é maior do que f(a), pelo menos para algum ponto c próximo a a, teremos f(c) > K. Portanto, existe um ponto c em [a, b] tal que f(c) > K. Da mesma forma, mostramos que B também não é vazio.

Agora, suponha por contradição que não existe nenhum ponto c no intervalo [a, b] tal que f(c) = K. Isso significa que para todo ponto c em [a, b], f(c) é estritamente menor do que K ou estritamente maior do que K. Portanto, A e B são conjuntos disjuntos e cobrem o intervalo [a, b]. Além disso, ambos são não vazios. Essa situação nos leva a uma contradição com o fato de que f é contínua.

Agora, vamos considerar o caso em que f(a) < K < f(b). Nesse caso, como f(a) é estritamente menor do que K e f(b) é estritamente maior do que K, os conjuntos A e B são não vazios e, portanto, cobrem todo o intervalo [a, b]. Como f é contínua e A e B são conjuntos fechados, o teorema do valor intermediário garante que existe pelo menos um ponto c em [a, b] tal que f(c) = K. Se K = f(a) ou K = f(b), a prova segue um raciocínio similar. Portanto, em qualquer caso, o teorema do valor intermediário é válido. Em resumo, a prova do teorema do valor intermediário utiliza o conceito de continuidade para mostrar que, se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e K é um número entre f(a) e f(b), então sempre haverá pelo menos um ponto c nesse intervalo em que f(c) = K. Essa prova é essencial na análise matemática, pois garante a existência de raízes de uma função contínua em um intervalo.

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