Prova do Teorema do Seno e Cosseno

O Teorema do Seno e Cosseno é uma ferramenta importante na resolução de problemas que envolvem triângulos quaisquer. Esse teorema relaciona os lados e ângulos de um triângulo, permitindo calcular uma grande variedade de informações. Neste artigo, vamos apresentar uma prova do Teorema do Seno e Cosseno.

Antes de começarmos, vamos revisar o enunciado do teorema: em um triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Matematicamente, podemos escrever essa relação como:

a² = b² + c² – 2bc.cos(A)

onde “a”, “b” e “c” são os lados do triângulo e “A” é o ângulo oposto ao lado “a”.

Para entender a prova do Teorema do Seno e Cosseno, vamos considerar um triângulo qualquer ABC. Construiremos uma altura relativa ao lado “a”, ou seja, traçaremos uma reta perpendicular ao lado “a” passando pelo vértice A, de modo que essa reta intersecte o lado BC no ponto D.

Assim, o triângulo ABC ficará dividido em dois triângulos retângulos: ABD e ACD. Agora, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos.

No triângulo ABD, temos:

AD² = AB² – BD²

No triângulo ACD, temos:

AD² = AC² – CD²

Como os dois triângulos compartilham a mesma altura e o mesmo cateto (AD), podemos igualar as duas expressões e obter:

AB² – BD² = AC² – CD²

Agora, vamos nos concentrar nos segmentos BD e CD. Eles podem ser escritos em termos dos lados do triângulo, usando as relações trigonométricas seno e cosseno.

No triângulo retângulo ABD, temos:

sen(B) = BD / AB

BD = AB . sen(B)

No triângulo retângulo ACD, temos:

sen(C) = CD / AC

CD = AC . sen(C)

Substituindo essas expressões na igualdade anterior, obtemos:

AB² – AB² . sen²(B) = AC² – AC² . sen²(C)

Simplificando e agrupando os termos semelhantes, temos:

AB² . (1 – sen²(B)) = AC² . (1 – sen²(C))

Como sabemos que sen²(B) + cos²(B) = 1 (porque seno ao quadrado mais cosseno ao quadrado é igual a 1), podemos reescrever a expressão anterior como:

AB² . cos²(B) = AC² . cos²(C)

Repare que, pelo Teorema das Áreas, a área do triângulo ABC também pode ser escrita em termos dos lados, como:

Área = 1/2 AB . AC . sen(A)

Multiplicando essa igualdade por 2, obtemos:

2 Área = AB . AC . sen(A)

E, pela fórmula da área do triângulo ABC, temos:

Área = BD . AB / 2 + CD . AC / 2

Substituindo as expressões que encontramos para BD e CD, temos:

2 Área = AB . AB . sen²(B) / 2 + AC . AC . sen²(C) / 2

Cancelando os 2 do numerador e denominador, encontramos:

Área = AB² . sen²(B) + AC² . sen²(C)

Comparando essa expressão com a equação anterior, podemos concluir que:

AB² . cos²(B) = AC² . cos²(C)

Agora, somando essa igualdade com a equação dada pelo Teorema do Seno e Cosseno:

AB² . cos²(B) + AC² . cos²(C) = AB² + AC² – 2AB.AC.cos(A)

Podemos simplificar essa expressão e obter:

AB²(1 – cos²(B)) + AC²(1 – cos²(C)) = AB² + AC² – 2AB.AC.cos(A)

Aplicando a identidade trigonométrica cos²(B) = 1 – sen²(B) e cos²(C) = 1 – sen²(C), encontramos:

AB² . sen²(B) + AC² . sen²(C) = AB² + AC² – 2AB.AC.cos(A)

Essa igualdade mostra que as expressões obtidas são iguais, o que conclui a prova do Teorema do Seno e Cosseno.

Em resumo, a prova do Teorema do Seno e Cosseno é baseada na construção de um triângulo retângulo que é formado pela altura relativa a um dos lados. A partir dessa divisão, utilizamos o Teorema de Pitágoras e relações trigonométricas para chegar à igualdade desejada. Esse teorema é amplamente utilizado na resolução de problemas trigonométricos e desempenha um papel fundamental em várias áreas da matemática e física.