A regra de Ruffini é uma técnica utilizada para realizar a divisão de polinômios, de forma mais simplificada e rápida. Essa regra foi desenvolvida pelo matemático italiano Paolo Ruffini, no século XIX, e continua sendo muito importante no estudo do cálculo algébrico.

Antes de falar sobre os exercícios que envolvem a regra de Ruffini, é importante entender como ela funciona. Para isso, considere um polinômio P(x) dividido por um polinômio do tipo (x-r), onde r é uma raiz desse polinômio. A regra de Ruffini permite encontrar o quociente e o resto dessa divisão de maneira mais simples.

O primeiro passo é organizar os termos do polinômio original da seguinte forma: começando pelo maior grau de x até o menor, escrevendo os expoentes em ordem decrescente. Em seguida, escreva o polinômio (x-r) ao lado desse polinômio ordenado.

Vamos agora a alguns exercícios práticos utilizando a regra de Ruffini:

Exemplo 1:
Divida o polinômio P(x) = 2x³ + 5x² – 3x + 7 por (x-2).

Passo 1: Organize os termos do polinômio em ordem decrescente.
2x³ + 5x² – 3x + 7

Passo 2: Escreva (x-2) ao lado do polinômio.
2x³ + 5x² – 3x + 7 | x – 2

Passo 3: Realize a divisão aplicando a regra de Ruffini.
Descobrimos que 2 é a raiz desse polinômio. Agora, basta seguir os cálculos substituindo o 2 no lugar de x – obtendo-se o quociente e o resto.

2 | 2 5 -3 7
4 18 30
__________________
2 9 15 37

Portanto, o quociente é 2x² + 9x + 15 e o resto é 37.

Exemplo 2:
Divida o polinômio P(x) = x⁴ – 3x³ + 2x² – 5x + 10 por (x+2).

Passo 1: Organize os termos do polinômio em ordem decrescente.
x⁴ – 3x³ + 2x² – 5x + 10

Passo 2: Escreva (x+2) ao lado do polinômio.
x⁴ – 3x³ + 2x² – 5x + 10 | x + 2

Passo 3: Realize a divisão aplicando a regra de Ruffini.
A raiz deste polinômio é -2.

-2 | 1 -3 2 -5 10
-2 10 -24 58
____________________
1 -5 12 -29 68

Portanto, o quociente é x³ – 5x² + 12x – 29 e o resto é 68.

Por meio da regra de Ruffini, é possível realizar a divisão de polinômios de forma mais prática e rápida, obtendo-se o quociente e o resto. Isso traz diversas aplicações, como resolução de sistemas lineares, cálculo de raízes e estudo de funções polinomiais. Portanto, é fundamental dominar essa técnica para facilitar os cálculos no estudo da matemática.

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