Delta é igual a zero: resolva as desigualdades

Quando estamos lidando com equações do segundo grau, muitas vezes nos deparamos com a necessidade de resolver desigualdades. Uma propriedade importante para resolver essas desigualdades é a análise do delta, que é o valor discriminante da equação do segundo grau. Quando o delta é igual a zero, temos uma situação especial que requer atenção especial.

Antes de falarmos sobre como resolver desigualdades com delta igual a zero, vamos entender um pouco mais sobre o conceito de delta. O delta é calculado através da fórmula Δ = b² – 4ac, onde a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0. Esse valor discriminante nos diz qual é a natureza das raízes dessa equação.

Quando o delta é maior que zero, temos duas raízes reais e distintas. Isso significa que a equação possui dois pontos de interseção com o eixo x, o que nos leva a duas soluções diferentes. Quando o delta é menor que zero, não temos raízes reais, apenas complexas. Nesse caso, a equação não possui pontos de interseção com o eixo x.

Agora, se o delta é igual a zero, a equação possui apenas uma raiz real. Isso significa que a equação toca o eixo x em um único ponto, sem atravessá-lo. Para resolver desigualdades com delta igual a zero, temos algumas regras específicas a seguir.

Vamos supor que temos a desigualdade x² + 2x + 1 ≥ 0 e queremos encontrar os valores de x que a satisfazem. Primeiro, devemos encontrar as raízes da equação correspondente, que nesse caso é x² + 2x + 1 = 0. Fazendo o cálculo do delta, temos Δ = 2² – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0.

Como o delta é igual a zero, sabemos que a equação possui uma única raiz real. Nesse caso, a solução da equação é x = -1. Agora, para resolver a desigualdade, devemos verificar em qual intervalo o valor de x satisfaz a inequação.

Podemos construir uma tabela de sinais para determinar os intervalos em que a desigualdade é satisfeita. Colocamos na tabela os intervalos entre as raízes encontradas e testamos um valor dentro de cada um desses intervalos.

Para o intervalo x < -1, por exemplo, podemos testar um valor como x = -2. Se substituirmos esse valor na desigualdade original, temos (-2)² + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 > 0. Portanto, a desigualdade é satisfeita para x < -1. Da mesma forma, testamos um valor dentro do intervalo x > -1, como x = 0. Substituindo esse valor na inequação, temos 0² + 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 ≥ 0. Portanto, a desigualdade também é satisfeita para x > -1.

Resumindo, a solução da desigualdade x² + 2x + 1 ≥ 0 é x ∈ (-∞, -1] U (-1, +∞). Isso significa que todos os valores de x menores ou iguais a -1 e maiores ou iguais a -1 satisfazem a desigualdade.

Em resumo, quando o delta é igual a zero em uma desigualdade, temos uma única raiz real e devemos encontrar os intervalos em que a desigualdade é satisfeita. Através do cálculo do delta e da construção de uma tabela de sinais, podemos determinar a solução dessa desigualdade de forma eficiente e precisa.