Como resolver desigualdades modulares

As desigualdades modulares são aquelas que envolvem a função módulo, representada pelo símbolo ||. Resolver uma desigualdade modular consiste em encontrar os valores para os quais a expressão dentro do módulo é maior ou igual a zero.

Para resolver uma desigualdade modular, podemos seguir algumas etapas. Primeiramente, devemos isolar a expressão dentro do módulo, igualá-la a zero e encontrar os valores de x que a tornam igual a zero. Esses pontos serão os possíveis pontos de descontinuidade da função módulo.

Em seguida, traçamos um sinal de mais “+” no número zero e em todos os pontos de descontinuidade encontrados anteriormente. Em cada uma dessas partes do número real, devemos verificar o sinal da função módulo.

Para isso, fazemos o seguinte teste: substituímos a expressão dentro do módulo por ela mesma e, se o resultado for maior ou igual a zero, o sinal será positivo. Caso contrário, o sinal será negativo.

Com os sinais determinados para cada intervalo, devemos resolver o problema em duas situações: quando o módulo está multiplicando uma constante positiva e quando está multiplicando uma constante negativa.

No caso em que o módulo está multiplicando uma constante positiva, a desigualdade se mantém da mesma forma. Já no caso em que está multiplicando uma constante negativa, invertemos a desigualdade. Ou seja, se tivermos |x – a| < b, quando b for negativo, devemos escrever a desigualdade como |x - a| > -b.

Após resolver as duas situações, encontraremos dois ou um único intervalo que satisfaça a desigualdade original. Basta escrever o resultado final como uma intersecção dos intervalos encontrados.

Por exemplo, se tivermos a desigualdade |x – 3| < 5, devemos isolar a expressão dentro do módulo e igualar a zero. Teremos x - 3 = 0, o que nos leva a x = 3. Traçamos um sinal de mais "+" no zero e verificamos o sinal da função módulo em cada parte do número real. Substituindo a expressão dentro do módulo por ela mesma, temos (x - 3) >= 0, o que nos dá x >= 3.

Resolvendo a desigualdade nos dois casos, positivo e negativo, encontramos que x pertence ao intervalo [3-5, 3+5], ou seja, x pertence ao intervalo [-2, 8].

Portanto, a solução para a desigualdade original é x pertence ao intervalo (-2, 8).

Resolver desigualdades modulares pode ser desafiador, mas seguindo as etapas mencionadas acima e prestando atenção aos sinais, é possível encontrar a solução correta. É importante lembrar de inverter a desigualdade quando o módulo está multiplicando uma constante negativa. Praticar diversos exemplos é fundamental para se tornar mais familiarizado com esse tipo de desigualdade e aprimorar as habilidades de resolução.