Uma matriz é uma ferramenta matemática que consiste em uma tabela organizada de números, que pode ser utilizada para resolver problemas de diversas áreas, como engenharia, física, informática, entre outras. A inversão de uma matriz é um processo pelo qual é encontrada uma matriz que representa a inversa da matriz original. A inversa de uma matriz é importante, pois pode facilitar a resolução de sistemas de equações lineares e outros cálculos matemáticos.

Para inverter uma matriz 3×3, é necessário seguir alguns passos. Primeiramente, é necessário calcular o determinante da matriz original. O determinante é um número que pode ser calculado a partir dos elementos da matriz e é utilizado para determinar se a matriz tem uma inversa. Se o determinante for igual a zero, a matriz não tem uma inversa.

Após calcular o determinante, é necessário determinar a matriz adjunta. A matriz adjunta é uma matriz que pode ser calculada a partir da matriz original. Ela é composta pela transposta da matriz de cofatores, que é uma matriz que contém os cofatores de cada elemento da matriz original. Os cofatores são valores que podem ser calculados a partir dos elementos da matriz original e são utilizados para calcular a matriz adjunta.

Depois de calcular a matriz adjunta, é necessário dividir cada elemento da matriz adjunta pelo determinante da matriz original. O resultado será uma matriz que representa a inversa da matriz original.

Para ilustrar como inverter uma matriz 3×3, vamos considerar a matriz A abaixo:

A = 2 3 4
1 0 -1
2 1 3

O primeiro passo é calcular o determinante da matriz. O determinante da matriz A pode ser calculado da seguinte forma:

det(A) = 2 * (0 * 3 – 1 * 1) – 3 * (1 * 3 – 1 * 2) + 4 * (1 * 1 – 0 * 2) = 2 * (-1) – 3 * (-1) + 4 * 1 = -2 + 3 + 4 = 5

Como o determinante é igual a 5, a matriz A tem uma inversa.

O próximo passo é calcular a matriz de cofatores. Para cada elemento aij da matriz A, o seu cofator Cij pode ser calculado da seguinte forma:

Cij = (-1)^(i+j) * det(Aij)

onde Aij é a matriz obtida a partir de A removendo a linha i e a coluna j.

Por exemplo, o cofator C11 da matriz A pode ser calculado da seguinte forma:

C11 = (-1)^(1+1) * det(A11) = det([0 -1; 1 3]) = 0 * 3 – (-1) * 1 = 1

Após calcular todos os cofatores, podemos obter a matriz adjunta A^T da seguinte forma:

A^T = | 1 -5 2 |
|-6 12 -6 |
| 3 -5 2 |

Finalmente, para obter a inversa de A, basta dividir cada elemento de A^T pelo determinante de A, que é 5:

A^-1 = | 1/5 -1 2/5 |
|-6/5 12/5 -6/5|
| 3/5 -1 2/5 |

Desta forma, a inversa da matriz A é dada por A^-1 = [1/5 -1 2/5; -6/5 12/5 -6/5; 3/5 -1 2/5]. Para verificar se a inversa está correta, basta multiplicar a matriz original pela sua inversa e verificar se o resultado é a matriz identidade:

A * A^-1 = | 2 3 4 | * | 1/5 -1 2/5 | = |1 0 0|
| 1 0 -1| |-6/5 12/5 -6/5| |0 1 0|
| 2 1 3| | 3/5 -1 2/5 | |0 0 1|

Portanto, a matriz inversa de A está correta.

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