Formule trigonometriche per triangoli rettangoli e non rettangoli

Le formule sono ampiamente utilizzate per problemi relativi ai tri rettangoli e non rettangoli. Queste formule sono fondamentali nell'ambito della geometria e dell'algebra, in quanto ci permettono di calcolare lunghezze e angoli all'interno di un triangolo. Iniziamo con le formule per i rettangoli, cioè quei triangoli che presentano un angolo di 90 gradi. Il teorema di Pitagora è sicuramente il più conosciuto e stabilisce che, in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto) è uguale alla somma dei quadrati altri due lati. Se indichiamo con a e b gli altri due lati e con c l'ipotenusa, allora avremo la seguente equazione: c^2 = a^2 + b^2. Oltre al teorema di Pitagora, ci sono altre formule trigonometriche utili per i triangoli rettangoli. Ad esempio, se conosciamo la lunghezza dell'ipotenusa e uno degli angoli acuti, possiamo calcolare le lunghezze degli altri due lati utilizzando la funzione trigonometrica seno, coseno o tangente. Il seno di un angolo è definito come il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa, il coseno come il rapporto tra il lato adiacente e l'ipotenusa, e la tangente come il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Quindi, se conosciamo l'ipotenusa c e uno degli angoli acuti α, possiamo calcolare le lunghezze degli altri due lati come segue: a = c · sen(α) e b = c · cos(α) oppure a = c · cos(α) e b = c · sen(α) oppure a = c · tan(α) e b = c · cotan(α). Passiamo ora ai triangoli non rettangoli, cioè quei triangoli che presentano tre angoli diversi da 90 gradi. In questi casi, le formule trigonometriche sono utilizzate per calcolare lunghezze e angoli interni, basandosi sui rapporti tra i lati dei triangoli. La legge dei seni afferma che il rapporto tra la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto è costante per tutti i lati del triangolo. Quindi, se indichiamo con a, b e c le lunghezze dei lati e con α, β e γ gli angoli opposti, avremo le seguenti : a/sen(α) = b/sen(β) = c/sen(γ). La legge dei coseni, invece, stabilisce che il quadrato della lunghezza di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle altre due lunghezze meno il doppio prodotto delle lunghezze moltiplicate per il coseno dell'angolo tra di esse. Quindi, se indichiamo con a, b e c le lunghezze dei lati e con α, β e γ gli angoli opposti, avremo le seguenti equazioni: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc · cos(α), b^2 = a^2 + c^2 - 2ac · cos(β), c^2 = a^2 + b^2 - 2ab · cos(γ). Queste sono solo alcune delle formule trigonometriche utilizzate per risolvere problemi relativi ai triangoli rettangoli e non rettangoli. La conoscenza di queste formule è fondamentale per risolvere vari tipi di esercizi e applicazioni pratiche nel campo della geometria e dell'ingegneria, oltre ad avere un ruolo importante nell'ambito matematico in generale.