Derivate Composte: Esercizi

Le sono un argomento fondamentale nell'ambito del calcolo differenziale e integrale. Sono un utile strumento per calcolare la velocità di variazione di una funzione composta da più . In questo articolo, vedremo alcuni esercizi pratici per comprendere meglio come applicare le derivate composte. Prima di addentrarci negli esercizi, facciamo una breve introduzione sul concetto di derivata composta. Quando una funzione è composta da altre funzioni, la derivata composta può essere calcolata utilizzando la regola della catena. La regola della catena afferma che se abbiamo una funzione composta f(g(x)), la sua derivata sarà data dal prodotto tra la derivata della funzione esterna f'(g(x)) e la derivata della funzione interna g'(x). In formula, la regola della catena si esprime come: (f o g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) Adesso, passiamo agli esercizi. Esercizio 1: Calcolare la derivata della funzione f(x) = (2x^2 + 3x - 5)^3. Soluzione: Applichiamo la regola della catena alla funzione composta f(g(x)), considerando g(x) = 2x^2 + 3x - 5 e f(x) = x^3. Calcoliamo la derivata di entrambe le funzioni: g'(x) = 4x + 3 f'(x) = 3x^2 Ora, sostituiamo le due derivate nella formula della regola della catena: (f o g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 3(2x^2 + 3x - 5)^2 * (4x + 3) Esercizio 2: Calcolare la derivata della funzione f(x) = sin(x^2 + 3x). Soluzione: Applichiamo nuovamente la regola della catena alla funzione composta f(g(x)), considerando g(x) = x^2 + 3x e f(x) = sin(x). Calcoliamo la derivata di entrambe le funzioni: g'(x) = 2x + 3 f'(x) = cos(x) Sostituiamo le derivate nella formula della regola della catena: (f o g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(x^2 + 3x) * (2x + 3) Esercizio 3: Calcolare la derivata della funzione f(x) = e^(2x^2). Soluzione: Ancora una volta, utilizziamo la regola della catena alla funzione composta f(g(x)), con g(x) = 2x^2 e f(x) = e^x. Calcoliamo la derivata di entrambe le funzioni: g'(x) = 4x f'(x) = e^x Sostituiamo le derivate nella formula della regola della catena: (f o g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = e^(2x^2) * 4x Questi esercizi ci permettono di comprendere meglio come applicare la regola della catena alle derivate composte. È fondamentale avere una buona padronanza di questo concetto per risolvere calcoli più complessi. Con l'esercizio costante e la pratica, riusciremo ad affrontare qualsiasi derivata composta che si presenti davanti a noi.