La ricerca degli zeri di un polinomio è uno dei compiti fondamentali nel campo dell’algebra e della matematica. In questa guida pratica, scopriremo i passaggi essenziali per trovare gli zeri di un polinomio in modo semplice ed efficace.

Cos’è un polinomio?

Prima di iniziare, è importante comprendere cos’è un polinomio. Un polinomio è un’espressione matematica costituita da una somma algebrica di monomi. Un monomio, a sua volta, è un termine algebrico composto da variabili con coefficienti numerici.

Passaggio 1: Scrivere il polinomio in notazione standard

La prima cosa da fare per trovare gli zeri di un polinomio è scriverlo in notazione standard. La notazione standard presenta i termini in ordine decrescente di grado, con i relativi coefficienti numerici.

Ad esempio, consideriamo il polinomio: 2x^3 – 5x^2 + x – 3

Per scriverlo in notazione standard, riscriviamo i termini in ordine decrescente di grado:

2x^3 – 5x^2 + x – 3

Ora che abbiamo il polinomio scritto in notazione standard, possiamo procedere con la ricerca degli zeri.

Passaggio 2: Applicare il metodo di Ruffini

Il metodo di Ruffini è uno dei principali strumenti utilizzati per trovare gli zeri di un polinomio. Esso si basa sul teorema del resto, che afferma che se un polinomio P(x) ha un termine del tipo (x – a) come divisore, allora P(a) = 0.

Per applicare il metodo di Ruffini, è necessario conoscere un possibile zero del polinomio, che può essere trovato mediante fattorizzazione, grafico o approssimazioni. Una volta trovato l’zero ipotetico, si applica il metodo di Ruffini per trovare gli altri zeri.

Supponiamo che il nostro polinomio sia: 2x^3 – 5x^2 + x – 3 e che abbiamo trovato un possibile zero, ad esempio x = 1. Applichiamo il metodo di Ruffini:

  • 1 | 2 -5 1 -3
  • | 2 -3 -2
  • | 2 -3 -2 -5

I numeri nella riga inferiore rappresentano i coefficienti del quoziente, che nel nostro caso è 2 -3 -2. Il polinomio risultante dall’applicazione del metodo di Ruffini è: 2x^2 – 3x – 2.

Ripetiamo il processo finché otteniamo un polinomio di grado 1. In questo caso, otteniamo: 2x^2 – 3x – 2 = (x – 1)(2x + 1).

I possibili zeri sono dati dai fattori del termine noto: (x – 1) = 0 e (2x + 1) = 0. Quindi, gli zeri del polinomio sono x = 1 e x = -1/2.

Passaggio 3: Verificare gli zeri trovati

Una volta trovati gli zeri del polinomio, è importante verificare che siano corretti. Per farlo, sostituiamo i valori degli zeri nel polinomio originale e verifichiamo se il risultato è effettivamente zero.

Nel nostro caso, sostituendo x = 1 nel polinomio 2x^3 – 5x^2 + x – 3, otteniamo:

2(1)^3 – 5(1)^2 + 1 – 3 = 0

Inoltre, sostituendo x = -1/2, otteniamo:

2(-1/2)^3 – 5(-1/2)^2 + (-1/2) – 3 = 0

Entrambi i risultati sono zero, confermando che gli zeri trovati sono corretti.

Conclusione:

Trovare gli zeri di un polinomio può sembrare complesso a prima vista, ma seguendo i passaggi essenziali come descritto in questa guida, è possibile risolvere questa equazione in modo semplice ed efficace. Ricorda di scrivere il polinomio in notazione standard, applicare il metodo di Ruffini per trovare gli zeri e infine verificare che siano corretti sostituendoli nel polinomio originale.

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