Soluzioni di di

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni lineari simultanee, ovvero un gruppo di equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. La soluzione di un sistema di equazioni lineari consiste nella determinazione dei valori delle variabili che rendono le equazioni del sistema vere.

Esistono diverse logie per un sistema di equazioni lineari, alcune delle quali sono il metodo di sostituzione, il metodo di eliminazione e il metodo delle matrici. Ogni metodo ha le sue caratteristiche e può essere scelto in base alla complessità del sistema.

Il metodo di sostituzione prevede di risolvere una delle equazioni rispetto ad una variabile e sostituire questa espressione nel resto delle equazioni. Ad esempio, se abbiamo un sistema di due equazioni con due variabili:

Equazione 1: 2x + 3y = 7
Equazione 2: 5x – 2y = 4

Possiamo risolvere la prima equazione rispetto a x e ottenere:
x = (7 – 3y)/2

Successivamente sostituire questa espressione nella seconda equazione:
5((7 – 3y)/2) – 2y = 4

Risolvendo questa equazione, otteniamo il valore di y. Sostituendo il valore di y ottenuto nella prima equazione, possiamo calcolare il valore di x.

Il metodo di eliminazione, invece, prevede di sommare o sottrarre le equazioni tra loro in modo da eliminare una variabile. Ad esempio, considerando lo stesso sistema di prima, possiamo moltiplicare la prima equazione per 5 e la seconda per 2, ottenendo:

Equazione 1: 10x + 15y = 35
Equazione 2: 10x – 4y = 8

Sottraendo la seconda equazione dalla prima, eliminiamo la variabile x:
10x + 15y – (10x – 4y) = 35 – 8
19y = 27
y = 27/19

Sostituendo il valore di y nella prima equazione, otteniamo il valore di x.

Infine, il metodo delle matrici è un approccio più formale alla soluzione di sistemi di equazioni lineari. I coefficienti delle variabili vengono organizzati in una matrice, chiamata matrice dei coefficienti, e i termini noti vengono raccolti in un vettore, chiamato vettore dei termini noti.

Ad esempio, considerando il sistema di equazioni precedente, possiamo ottenere la matrice dei coefficienti A e il vettore dei termini noti B come segue:

A = [2 3;
5 -2]

B = [7;
4]

Calcolando l’inversa della matrice dei coefficienti:

A^-1 = [2/19 3/19;
5/19 -2/19]

E applicando la formula generale per il calcolo delle di un sistema di equazioni lineari:

X = A^-1 * B

Possiamo quindi calcolare la matrice delle soluzioni X:

X = [x;
y] = [(-2/19)*7 + (3/19)*4;
(5/19)*7 + (-2/19)*4]

In questo modo otteniamo i valori delle variabili x e y che soddisfano il sistema di equazioni.

In conclusione, esistono diverse metodologie per risolvere sistemi di equazioni lineari, come il metodo di sostituzione, il metodo di eliminazione e il metodo delle matrici. Ogni metodo ha le sue peculiarità e può essere scelto a seconda della complessità del sistema da risolvere. L’importante è riuscire a determinare le soluzioni che rendono le equazioni vere.

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