Soluzioni agli Esercizi sui Logaritmi

I sono una componente fondamentale della matematica che permette di risolvere una serie di problemi e calcoli. Gli esercizi sulla materia possono rivelarsi complessi e richiedono una solida comprensione delle proprietà e delle regole dei logaritmi. Di seguito, verranno presentate alcune soluzioni ai più comuni esercizi sui logaritmi.

1. Risolvere l’equazione logaritmica: log3 (x+2) – log3 (x-1) = 2.
Per risolvere questa equazione, possiamo usare la proprietà dei logaritmi che afferma che la differenza dei logaritmi di due numeri è uguale al logaritmo del loro rapporto. Applicando questa proprietà, otteniamo: log3 [(x+2)/(x-1)] = 2.
Successivamente, convertiamo l’equazione in forma esponenziale: 3^2 = (x+2)/(x-1).
Risolvendo l’equazione otteniamo: 9(x-1) = x+2. Sviluppando i calcoli otteniamo: 9x-9 = x+2, che si semplifica in 8x = 11. Infine, dividendo entrambi i membri per 8, otteniamo: x = 11/8.

2. Trovare il valore di x nell’equazione logaritmica: 5^x = 125.
In questo esercizio, dobbiamo determinare l’esponente x che rende vera l’equazione. Dal momento che 5^3 = 125, possiamo concludere che x=3 è la soluzione.

3. Semplificare l’espressione logaritmica: log5 (125) – log5 (25).
L’obiettivo di questo esercizio è semplificare l’espressione combinando i logaritmi con la stessa base attraverso la proprietà del logaritmo del prodotto e del quoziente. In questo caso, possiamo applicare la proprietà del quoziente per ottenere: log5 (125/25).
Effettuando la divisione tra i numeri otteniamo: log5 (5), che si semplifica in 1. Quindi, l’espressione semplificata è 1.

4. Risolvere l’equazione logaritmica: log2 (x) + log2 (x+4) = 4.
Per risolvere questa equazione, possiamo applicare la proprietà del logaritmo del prodotto, che afferma che la somma dei logaritmi di due numeri è uguale al logaritmo del loro prodotto. Da questa proprietà possiamo ricavare: log2 (x(x+4)) = 4.
Successivamente, convertiamo l’equazione in forma esponenziale: 2^4 = x(x+4), che corrisponde a 16 = x^2 + 4x.
Spostando tutti i termini sul lato sinistro dell’equazione, otteniamo x^2 + 4x – 16 = 0.
Risolvendo l’equazione otteniamo x = -8 o x = 2. Tuttavia, x non può essere un numero negativo poiché il logaritmo di un numero negativo non è definito. Quindi, l’unica soluzione accettabile è x=2.

Questi sono solo alcuni esempi di soluzioni agli esercizi sui logaritmi. La chiave per risolvere tali esercizi è comprendere appieno le proprietà, le regole e le identità dei logaritmi. Ricordate che la pratica costante e la comprensione dei concetti fondamentali sono fondamentali per avere successo in questo campo della matematica.