La soluzione di un’equazione a variabili separabili è un’operazione matematica che ci permette di trovare il valore della variabile incognita in base all’equazione data. Questo tipo di equazione è caratterizzato dal fatto che le variabili presenti possono essere separate in due gruppi, uno contenente tutte le x e l’altro tutte le y, ad esempio.

Per risolvere un’equazione di questo tipo, dobbiamo portare tutte le x da una parte dell’equazione e tutte le y dall’altra parte. Successivamente, integreremo entrambi i membri dell’equazione ottenendo l’equazione finale.

Supponiamo di avere un’equazione del tipo: y * dy = x^2 * dx. Possiamo osservare che al lato sinistro dell’equazione abbiamo tutti i fattori contenenti la y (y e dy) e al lato destro tutti i fattori contenenti la x (x^2 e dx).

Per iniziare, porteremo tutti i termini contenenti y a sinistra dell’equazione e quelli contenenti x a destra. In questo caso, otterremo: y * dy – x^2 * dx = 0.

Quindi, integreremo entrambi i membri dell’equazione con rispetto alle rispettive variabili. Integrando il lato sinistro otteniamo ∫(y*dy) = ∫(x^2*dx).

Integrando il lato sinistro dell’equazione otteniamo ∫(y*dy) = (y^2)/2.
Integrando il lato destro dell’equazione otteniamo ∫(x^2*dx) = (x^3)/3 + C, dove C è costante di integrazione.

Quindi, l’equazione finale sarà (y^2)/2 = (x^3)/3 + C.

A questo punto, se ci viene data un’ulteriore informazione sull’equazione (ad esempio, il valore di una delle variabili), possiamo determinare il valore della variabile incognita. In caso contrario, l’equazione ottenuta rappresenterà una famiglia di curve.

Ad esempio, supponiamo che ci venga data l’informazione che il valore della costante di integrazione C sia 2. Sostituendo questo valore nell’equazione otteniamo (y^2)/2 = (x^3)/3 + 2.

Possiamo ora risolvere l’equazione per una delle due variabili. Ad esempio, supponiamo di voler trovare il valore di y al variare di x. Possiamo riorganizzare l’equazione come: y^2 = 2*((x^3)/3 + 2).

A questo punto, possiamo trovare il valore di y calcolando la radice quadrata di entrambi i membri dell’equazione: y = √(2*((x^3)/3 + 2)).

Pertanto, abbiamo ottenuto la soluzione dell’equazione a variabili separabili, in termini di x e y. Possiamo ora tracciare un grafico della curva risultante per visualizzare come variano le due variabili al variare l’una dell’altra.

In conclusione, la soluzione di un’equazione a variabili separabili richiede di separare i termini contenenti x e y, integrare entrambi i membri dell’equazione e determinare l’equazione finale. A questo punto, se disponiamo di ulteriori informazioni o condizioni, possiamo trovare il valore delle variabili incognite e rappresentare la curva corrispondente.

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