Il Problema di Cauchy è un tipo di problema di valore iniziale che coinvolge l’equazione differenziale e la condizione iniziale di una funzione. In questo caso, abbiamo l’equazione differenziale y + y tan(t) = 2cos(t) e la condizione iniziale y(0) = 0.

Per risolvere questo problema, utilizzeremo il metodo delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Seguiremo i seguenti passaggi:

Passo 1:

Scriviamo l’equazione differenziale in forma normale:

dy/dt + y * tan(t) = 2 * cos(t)

Passo 2:

Troviamo il fattore integrante moltiplicando l’intera equazione per il fattore correttivo:

m(t) = e^(∫ tan(t) dt)

Calcoliamo l’integrale:

∫ tan(t) dt = ln|sec(t)|

Quindi, il fattore integrante diventa:

m(t) = e^(ln|sec(t)|) = sec(t)

Passo 3:

Moltiplichiamo l’intera equazione per il fattore integrante:

sec(t) * (dy/dt) + y * tan(t) * sec(t) = 2 * cos(t) * sec(t)

semplificando:

dy/dt * sec(t) + y * sec(t) * tan(t) = 2 * cos(t) * sec(t)

Passo 4:

Riconosciamo che il lato sinistro dell’equazione è la derivata di (y * sec(t)) rispetto a t. Quindi, possiamo scrivere l’equazione nella seguente forma:

d(y * sec(t))/dt = 2 * cos(t) * sec(t)

Passo 5:

Integriamo entrambi i lati dell’equazione rispetto a t:

∫ d(y * sec(t))/dt dt = ∫ 2 * cos(t) * sec(t) dt

(y * sec(t)) = 2 * ∫ cos(t) dt

(y * sec(t)) = 2 * sin(t) + C

Passo 6:

Troviamo la costante di integrazione utilizzando la condizione iniziale y(0) = 0:

(0 * sec(0)) = 2 * sin(0) + C

0 = 0 + C

Quindi, la costante di integrazione è C = 0.

Passo 7:

Sostituiamo la costante di integrazione nell’equazione precedente:

y * sec(t) = 2 * sin(t)

Passo 8:

Risolviamo per y:

y = (2 * sin(t))/sec(t)

y = 2 * sin(t) * cos(t)

y = sin(2t)

Passo 9:

Ora, dobbiamo trovare il valore di y(pi). Sostituendo t con pi nell’ultima equazione:

y(pi) = sin(2 * pi)

Utilizzando le proprietà del seno, sappiamo che sin(2 * pi) = 0.

Quindi, y(pi) = 0.

In conclusione, il valore di y(pi) nel problema di Cauchy y + y tan(t) = 2cos(t), con y(0) = 0, è 0.

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