La risoluzione di sistemi lineari è un argomento di fondamentale importanza nell’ambito della matematica e dell’analisi numerica. In questo articolo verrà affrontato il tema della risoluzione per sostituzione di sistemi lineari, illustrando i passaggi necessari per risolvere questo tipo di problema.

Il primo passo per risolvere un sistema lineare per sostituzione consiste nel rappresentare il sistema attraverso una serie di equazioni lineari. Un sistema lineare può essere rappresentato come segue:

| a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 |
| a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 |
| a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 |
| …………………………. |
| am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm |

Dove aij sono i coefficienti delle variabili x1, x2, x3, …, xn, mentre bi è il termine noto.

Il secondo passo consiste nel selezionare una delle equazioni del sistema e isolare una delle incognite in funzione delle altre. Si sceglie di solito la variabile x1. Supponiamo che si scelga l’equazione 1:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

Isolando x1 si otterrà:

x1 = (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn) / a11

Il terzo passo consiste nel sostituire l’espressione ottenuta per x1 nelle altre equazioni del sistema. Si sostituisce x1 nella seconda equazione e si ripete il procedimento per ogni incognita. Ad esempio, sostituendo x1 nella seconda equazione si otterrà:

a21[(b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn) / a11] + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

Il quarto passo consiste nel semplificare l’equazione ottenuta e risolvere per x2. Continuando con l’esempio sopra, si semplifica l’equazione e si risolve per x2:

(a21b1 – a21a12x2 – a21a13x3 – … – a21a1nxn) / a11 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

[(a21b1 – a21a12x2) / a11] + [(a21a13x3) / a11] + … + [(a21a1nxn) / a11] + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

[(a21b1 / a11) – (a21a12 / a11)x2] + [(a21a13 / a11)x3] + … + [(a21a1n / a11)x1] + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

Si semplifica ulteriormente l’equazione e si risolve per x2.

Il quinto passo consiste nel ripetere i passaggi precedenti per ogni incognita rimanente, sostituendo l’espressione ottenuta per l’incognita precedente nelle equazioni successive.

Terminato questo processo, si otterranno i valori delle incognite x1, x2, x3, …, xn che risolvono il sistema lineare per sostituzione.

In conclusione, la risoluzione per sostituzione di sistemi lineari richiede di isolare una delle variabili in una delle equazioni del sistema e sostituire questa espressione nelle altre equazioni. Questo procedimento viene ripetuto per ogni variabile del sistema finché non si otterranno i valori corrispondenti alle incognite. Questo metodo è uno dei modi più comuni per risolvere i sistemi lineari e può essere utilizzato per risolvere una vasta gamma di problemi matematici e scientifici.

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