Per rispondere alla domanda su quali valori di k l’equazione rappresenti una circonferenza, è necessario compiere un’analisi dettagliata dell’equazione stessa. Partiamo dall’equazione generale di una circonferenza:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,

dove (a,b) rappresenta il centro della circonferenza e r il suo raggio.

Supponiamo ora di avere un’equazione che presenti un termine k al posto del raggio:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = k.

Per determinare i valori di k che fanno sì che l’equazione rappresenti una circonferenza, dobbiamo considerare due possibili casi: k maggiore di zero e k minore o uguale a zero.

Iniziamo con il primo caso. Se k è maggiore di zero, allora l’equazione rappresenta una circonferenza avente centro (a,b) e raggio k. Per comprendere meglio, supponiamo, ad esempio, che l’equazione sia (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9. In questo caso avremo il centro della circonferenza in (2,-1) e il suo raggio sarà la radice quadrata di k, ovvero 3. Pertanto, l’equazione rappresenta una circonferenza con centro in (2,-1) e raggio di 3.

Nel secondo caso, k assume valori minori o uguali a zero. In questa situazione, l’equazione non rappresenta una circonferenza, bensì un punto o un insieme di punti. Infatti, se k è uguale a zero, avremo un’equazione del tipo (x-a)^2 + (y-b)^2 = 0. Tale equazione rappresenta un unico punto, che coincide con il centro della circonferenza (a,b). Se k assume valori negativi, l’equazione risulterà impossibile da soddisfare in quanto avremmo una somma di quadrati non negativi uguale a un valore negativo.

Ad esempio, se consideriamo l’equazione (x-3)^2 + (y+2)^2 = -4, essa non ha soluzioni in quanto la somma dei termini (x-3)^2 e (y+2)^2 non può essere negativa.

In conclusione, l’equazione (x-a)^2 + (y-b)^2 = k rappresenta una circonferenza solamente se k è maggiore di zero. In tal caso, il centro della circonferenza coincide con il punto (a,b) e il raggio è la radice quadrata di k. Se k è uguale a zero, l’equazione rappresenta un punto (a,b), mentre se k è negativo, l’equazione non ha soluzioni.

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