Le parabole e le disequazioni

Le parabole sono curve molto importanti all’interno della matematica, che trovano applicazioni anche in moltissimi contesti della vita quotidiana. Le parabole sono definite come l’insieme di punti equidistanti da un punto detto “fuoco” e una retta detta “direttrice”.

Le parabole sono caratterizzate da diverse proprietà, tra cui l’asse di simmetria che passa per il fuoco e la direttrice, il vertice che rappresenta il punto di massimo o minimo della parabola e i punti di intersezione con gli assi cartesiani. Le parabole possono essere aperte verso l’alto (concave) o verso il basso (convexe) a seconda del segno del coefficiente di secondo grado.

Le parabole hanno diverse applicazioni pratiche, ad esempio nel calcolo delle traiettorie di un oggetto in movimento, nel disegno di ponti e archi, nell’ottica e nella progettazione delle parabole delle satellite. Inoltre, sono fondamentali per la risoluzione di disequazioni.

Le disequazioni sono delle disuguaglianze algebriche in cui sono presenti i segni di maggiore o minore. Le disequazioni possono essere lineari, quadratische o del secondo grado. Per risolvere una disequazione di secondo grado, si utilizzano le proprietà delle parabole.

Un modo molto efficace per risolvere le disequazioni di secondo grado è tramite la rappresentazione grafica delle parabole. Infatti, la soluzione della disequazione corrisponde all’insieme dei punti sopra (o sotto) la parabola.

Ad esempio, consideriamo la disequazione x^2 – 4x + 3 > 0. Per risolverla, iniziamo col trovare le radici dell’equazione associata, che sono x1 = 1 e x2 = 3. Queste radici dividono il piano in tre intervalli. Ora, tracciamo il grafico della parabola y = x^2 – 4x + 3.

Notiamo che il vertice della parabola è nel punto (2, -1) e che la parabola è concava verso l’alto (in quanto il coefficiente di secondo grado è positivo). Osserviamo inoltre che la parabola è sopra l’asse x nel primo e terzo intervallo, mentre è sotto l’asse x nel secondo intervallo.

Tramite la rappresentazione grafica della parabola, possiamo quindi concludere che la soluzione dell’equazione x^2 – 4x + 3 > 0 è l’insieme di tutti i valori di x che appartengono agli intervalli (1, 3) e (-∞, 1) U (3, +∞).

In conclusione, le parabole rappresentano una forma di curva molto utile dentro e fuori la matematica. Le loro proprietà sono necessarie per risolvere le disequazioni, in quanto la soluzione di queste corrisponde agli intervalli sopra o sotto la parabola. La rappresentazione grafica delle parabole è uno strumento fondamentale per visualizzare le soluzioni delle disequazioni e risolvere i problemi pratici.