Le sono delle particolari funzioni che non possiedono continuità in determinati punti. In questi punti, infatti, non è garantito che il valore della funzione converga in modo uniforme, ma può invece presentare dei salti o delle discontinuità brusche.

Le funzioni discontinue si possono suddividere in diverse categorie in base al tipo di discontinuità che presentano. La prima categoria è quella delle funzioni con discontinuità semplice o di prima . Queste funzioni presentano un salto finito in un determinato punto, ovvero il valore del limite sinistro non coincide con quello del limite destro. Questa situazione può essere rappresentata graficamente come uno “scalino” che collega due valori distinti della funzione.

Un esempio comune di funzione con discontinuità semplice è la funzione a gradino, anche chiamata funzione di Heaviside. Questa funzione assume valore zero per valori negativi dell’argomento e valore uno per valori positivi dell’argomento. Il punto di discontinuità si trova proprio al valore zero, dove si passa da un valore all’altro in modo improvviso.

Un’altra categoria di funzioni discontinue è quella delle funzioni con discontinuità di salto infinito o di seconda specie. In questo caso, il valore del limite sinistro o destro diverge verso più o meno infinito. Anche in questo caso, la rappresentazione grafica della funzione presenta uno “scalino” che collega due valori distinti, ma il salto è infinito.

Un esempio di funzione con discontinuità di salto infinito è la funzione segno, che assume valore uno per valori positivi dell’argomento, meno uno per valori negativi e zero per lo zero. La discontinuità si verifica proprio nel punto in cui l’argomento è uguale a zero, poiché il valore della funzione passa da uno a meno uno.

Infine, esistono anche funzioni discontinue che presentano discontinuità eliminabile o di terza specie. Questo tipo di discontinuità si verifica quando il limite della funzione in un determinato punto esiste, ma è diverso dal valore assunto dalla funzione in quel punto. In pratica, basta modificare il valore della funzione in quel punto per ottenere una funzione continua.

Un esempio di funzione con discontinuità eliminabile è la funzione f(x) = (x – 2)/(x – 2). Questa funzione è indefinita nel punto x = 2, ma se si semplifica eliminando i termini (x – 2) sia al numeratore che al denominatore, si ottiene la funzione costante f(x) = 1, che è continua in ogni suo punto, compreso x = 2.

In conclusione, le funzioni discontinue sono un interessante oggetto di studio nell’ambito della matematica. La loro presenza permette di analizzare le proprietà delle funzioni in punti particolari, dove non è garantito il soddisfacimento delle caratteristiche di continuità. Le diverse categorie di discontinuità offrono una classificazione delle possibili forme che queste discontinuità possono assumere.

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