Esistenza di

Le disequazioni fratte sono disequazioni in cui almeno una delle incognite compare al denominatore. Questo tipo di disequazioni può presentare delle peculiarità nello studio delle loro soluzioni, poiché possono comportarsi in modo diverso rispetto alle disequazioni lineari.

Per determinare l’esistenza di soluzioni per una disequazione fratta, bisogna considerare due casi principali: quando il denominatore è diverso da zero e quando il denominatore è uguale a zero.

Nel primo caso, se il denominatore è diverso da zero, possiamo semplificare la disequazione eliminando il denominatore. Questo si può fare moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per il denominatore stesso, tenendo presente che se il denominatore è negativo, bisogna cambiare il verso dell’ineguaglianza. Ad esempio, se abbiamo la disequazione (x+2)/(x-1) > 0, dobbiamo moltiplicare entrambi i membri per (x-1), ottenendo x+2 > 0. Da questa equazione possiamo dedurre che l’uguaglianza è vera per x > -2, quindi la disequazione iniziale è verificata solo per i valori di x che soddisfano questa condizione.

Nel secondo caso, quando il denominatore è uguale a zero, dobbiamo analizzare separatamente il comportamento della disequazione per i valori di x che rendono il denominatore zero. Ad esempio, se abbiamo la disequazione (x+2)/(x-1) > 0, il denominatore sarà uguale a zero per x = 1. Dobbiamo quindi dividere la retta reale in tre intervalli: quello a sinistra di 1, quello tra 1 e -2, e quello a destra di -2. In ogni intervallo, bisogna stabilire se la disequazione è soddisfatta o meno. Prendendo in considerazione l’intervallo tra -∞ e -2, abbiamo che la disequazione diventa positiva in quanto il numeratore e il denominatore hanno lo stesso segno. Nell’intervallo tra -2 e 1, invece, la disequazione diventa negativa in quanto numeratore e denominatore hanno segni opposti. Infine, nell’intervallo tra 1 e +∞, la disequazione diventa nuovamente positiva poiché numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Pertanto, i valori di x che soddisfano la disequazione sono quelli dell’intervallo (-∞, -2) U (1, +∞).

Risulta evidente, quindi, come lo studio delle soluzioni delle disequazioni fratte richiede una maggiore attenzione rispetto alle disequazioni lineari. Oltre alla divisione in intervalli, possono verificarsi altre situazioni particolari, come l’esistenza di valori che annullano sia il numeratore che il denominatore. In questi casi, è necessario procedere con ulteriori analisi per determinare le soluzioni esistenti.

In conclusione, le disequazioni fratte possono presentare diverse problematiche nello studio delle soluzioni a causa della presenza di denominatori. Per determinare l’esistenza di soluzioni, è fondamentale considerare i casi in cui il denominatore è diverso da zero e quando è uguale a zero. Attraverso una corretta analisi, sia attraverso la semplificazione dell’equazione che attraverso la divisione in intervalli, è possibile trovare le soluzioni corrette per le disequazioni fratte e stabilire se queste sono verificate solo per alcuni valori specifici delle incognite.

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