Esibire una prova dell'invertibilità di una funzione

In matematica, una funzione si dice invertibile quando ad ogni valore dell’insieme di partenza corrisponde un unico valore nell’insieme di arrivo e viceversa. In altre parole, una funzione è invertibile se ogni elemento dell’insieme di partenza ha un’unica immagine nell’insieme di arrivo e ogni elemento dell’insieme di arrivo ha un’unica antimmagine nell’insieme di partenza.

Per dimostrare l’invertibilità di una funzione, dobbiamo mostrare che la funzione è sia iniettiva (ogni elemento dell’insieme di partenza ha un’unica immagine) che suriettiva (ogni elemento nell’insieme di arrivo ha un’unica antimmagine).

Supponiamo di avere una funzione f: A -> B, dove A è l’insieme di partenza e B è l’insieme di arrivo. Per dimostrare che f è iniettiva, dobbiamo mostrare che se f(x) = f(y), allora x = y per ogni x e y in A.

Supponiamo che f(x) = f(y), allora per definizione della funzione, abbiamo che f(x) e f(y) appartengono all’insieme B. Se f(x) = f(y), allora per la proprietà dell’uguaglianza, gli elementi x e y devono essere uguali. Pertanto, la funzione f è iniettiva.

Per dimostrare che f è suriettiva, dobbiamo mostrare che per ogni b in B, esiste un elemento a in A tale che f(a) = b.

Supponiamo che b sia un elemento di B. Dobbiamo trovare un a in A tale che f(a) = b. Essendo f una funzione, sappiamo che ad ogni elemento dell’insieme di partenza (A) corrisponde un elemento nell’insieme di arrivo (B). Quindi, possiamo scegliere a come l’elemento dell’insieme di partenza che viene mappato in b.

Quindi, abbiamo trovato un a in A tale che f(a) = b per ogni b in B. Pertanto, la funzione f è suriettiva.

Poiché abbiamo dimostrato che f è sia iniettiva che suriettiva, possiamo concludere che f è invertibile. Questo significa che esiste una funzione g: B -> A che mappa ogni elemento b in B con il suo antecedente unico nell’insieme A.

Inoltre, per dimostrare completamente l’invertibilità di f, dobbiamo mostrare che l’applicazione di g dopo f e l’applicazione di f dopo g restituiscono l’elemento di partenza.

Se applichiamo g dopo f, otteniamo g(f(x)) = x. Viceversa, se applichiamo f dopo g, otteniamo f(g(y)) = y. Queste equazioni confermano che g è l’inversa di f.

In conclusione, abbiamo dimostrato che una funzione f: A -> B è invertibile se e solo se f è sia iniettiva che suriettiva. Inoltre, abbiamo mostrato che se una funzione è invertibile, allora esiste un’inversa di f che mappa ogni elemento b in B al suo antecedente unico nell’insieme A. L’invertibilità di una funzione è un concetto fondamentale in matematica che trova applicazioni in molte aree come l’algebra lineare, l’analisi matematica e la teoria dei numeri.