Gli sulla di con moduli rappresentano una parte fondamentale dello studio dell’algebra. Questo tipo di esercizi permette di applicare le regole di risoluzione disequazioni, insieme alle proprietà dei moduli, al fine di determinare l’insieme delle .

Per risolvere una disequazione con moduli, bisogna considerare due casi: quando il valore assoluto è maggiore o minore di zero. Iniziamo con il primo caso.

Immaginiamo di dover risolvere l’equazione |x – 3| > 2. Dobbiamo considerare due possibilità: quando x – 3 è maggiore di zero e quando è minore di zero.

Se x – 3 è maggiore di zero, cioè x > 3, allora la disequazione diventa semplicemente x – 3 > 2. Aggiungendo 3 ad entrambi i membri si ottiene x > 5. Quindi, se x è maggiore di 3, la disequazione è soddisfatta quando x è maggiore di 5.

Se x – 3 è minore di zero, cioè x < 3, allora la disequazione diventa -(x - 3) > 2. Moltiplicando entrambi i membri per -1, si ottiene x – 3 < -2. Aggiungendo 3 ad entrambi i membri si ottiene x < 1. Pertanto, se x è minore di 3, la disequazione è soddisfatta quando x è minore di 1. Mettendo insieme entrambi i casi, l'insieme delle soluzioni della disequazione è dato da x ∈ (-∞, 1) ∪ (5, +∞). Passiamo ora a un altro esempio. Supponiamo di dover risolvere l'equazione |2x + 1| < 5. Ancora una volta, consideriamo due possibilità: quando 2x + 1 è maggiore di zero e quando è minore di zero. Se 2x + 1 è maggiore di zero, cioè 2x + 1 > 0, allora la disequazione diventa semplicemente 2x + 1 < 5. Sottraendo 1 da entrambi i membri si ottiene 2x < 4. Dividendo entrambi i membri per 2 si ottiene x < 2. Quindi, se 2x + 1 è maggiore di zero, la disequazione è soddisfatta quando x è minore di 2. Se 2x + 1 è minore di zero, cioè 2x + 1 < 0, allora la disequazione diventa -(2x + 1) < 5. Moltiplicando per -1 si ottiene -2x - 1 < 5. Aggiungendo 1 ad entrambi i membri si ottiene -2x < 6. Dividendo per -2 si ottiene x > -3. Pertanto, se 2x + 1 è minore di zero, la disequazione è soddisfatta quando x è maggiore di -3.

Unendo entrambi i casi, l’insieme delle soluzioni della disequazione è dato da x ∈ (-∞, -3) ∪ (-∞, 2).

In conclusione, gli esercizi sulla risoluzione di disequazioni con moduli richiedono di considerare due casi: quando il valore assoluto è maggiore o minore di zero. È importante applicare correttamente le regole di risoluzione delle disequazioni e tenere conto delle proprietà dei moduli per determinare l’insieme delle soluzioni. Solo così sarà possibile ottenere i risultati corretti e completi.

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