Gli sui sono uno dei concetti fondamentali della matematica, in particolare dell’algebra lineare. Questi esercizi sono cruciali per i concetti di soluzione di un sistema di e di matrice associata. In questo articolo, esamineremo alcuni esercizi comuni sui sistemi lineari e forniremo le relative .

Prima di iniziare con gli esercizi, è importante avere una comprensione di base di cosa sia un sistema lineare. Un sistema lineare è un insieme di equazioni lineari che devono essere risolte contemporaneamente. Ogni equazione lineare rappresenta una relazione tra variabili, e la soluzione del sistema è il valore delle variabili che soddisfano tutte le equazioni.

Iniziamo con un semplice esercizio. Consideriamo il seguente sistema lineare:

2x + 3y = 8
4x – 5y = -7

Per questo sistema, possiamo utilizzare il metodo di eliminazione, sostituzione o Cramer. Inizialmente, utilizziamo il metodo di eliminazione. Moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la seconda per 2, in modo da ottenere coefficienti opposti per x. Otteniamo:

8x + 12y = 32
8x – 10y = -14

Sottraiamo la seconda equazione dalla prima per eliminare x:

22y = 46
y = 2

Sostituiamo questo valore di y nella prima equazione:

2x + 3(2) = 8
2x + 6 = 8
2x = 2
x = 1

Pertanto, la soluzione del sistema è x = 1 e y = 2.

Passiamo ora a un esercizio leggermente più complesso. Consideriamo il seguente sistema lineare:

3x + 2y – z = 7
2x – 2y + 4z = -4
x + 3y – 2z = 9

Per risolvere questo sistema, utilizziamo il metodo di eliminazione. Iniziamo eliminando x dalla seconda e dalla terza equazione moltiplicando la prima equazione per 2 e la terza per 3:

6x + 4y – 2z = 14
3x + 9y – 6z = 27

Sottraiamo la prima equazione dalla seconda:

-3x + 7y = 13

Moltiplichiamo poi la prima equazione per 3 e sottraiamo la terza dall’equazione risultante:

6x + 4y – 2z = 14
-3x – 9y + 6z = -27
9y – 8z = -13

Adesso abbiamo un sistema di due equazioni con due incognite, -3x + 7y = 13 e 9y – 8z = -13. Per risolvere questo nuovo sistema, possiamo utilizzare il metodo di sostituzione:

-3x + 7y = 13
x = (13 + 7y) / -3

Sostituendo questa espressione per x nella seconda equazione:

9y – 8z = -13
9y – 8z = -13

Ora possiamo risolvere l’equazione per y:

9y – 8z = -13
y = (8z – 13) / 9

Infine, sostituendo y in termini di z nella prima equazione:

-3x + 7((8z – 13) / 9) = 13
-3x = (91 – 56z) / 9
x = (56z – 91) / -3

Pertanto, la soluzione del sistema è x = (56z – 91) / -3, y = (8z – 13) / 9 e z può essere qualsiasi valore.

In conclusione, gli esercizi sui sistemi lineari sono fondamentali per la comprensione dell’algebra lineare. Esaminando questi esercizi e le relative soluzioni, si può acquisire una maggiore padronanza di questo concetto matematico e migliorare le proprie abilità nelle operazioni con sistemi di equazioni.

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