Gli che riguardano i sono una parte fondamentale del calcolo, perché permettono di comprendere il comportamento delle funzioni matematiche in corrispondenza di punti particolari.

Iniziamo con un esercizio semplice: il limite di una funzione quando l’argomento tende a un valore specifico. Prendiamo ad esempio la funzione f(x) = 3x^2 – 2x + 1. Calcoliamo il limite di f(x) quando x tende a -1. Applicando la definizione di limite, otteniamo:

lim x->-1 (3x^2 – 2x + 1) = 3(-1)^2 – 2(-1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6

Il limite della funzione f(x) quando x tende a -1 è quindi 6.

Passiamo ora a un esercizio leggermente più complesso: calcolare il limite di una funzione quando l’argomento tende all’infinito. Prendiamo ad esempio la funzione g(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x^2 – 1). Calcoliamo il limite di g(x) quando x tende all’infinito. Applicando la definizione di limite, otteniamo:

lim x->∞ ((2x^2 + 3x + 1) / (x^2 – 1)) = 2∞^2 / ∞^2 = 2

Il limite della funzione g(x) quando x tende all’infinito è quindi 2.

Proseguiamo con un esercizio che richiede l’utilizzo delle proprietà dei limiti. Prendiamo ad esempio la funzione h(x) = √(x^2 + x) – x. Calcoliamo il limite di h(x) quando x tende a infinito. Applicando la proprietà √(a^2) = |a|, otteniamo:

lim x->∞ (√(x^2 + x) – x) = lim x->∞ ((|x| + x) – x) = lim x->∞ |x| = ∞

Il limite della funzione h(x) quando x tende a infinito è quindi infinito.

Infine, consideriamo un esercizio che richiede l’applicazione delle regole di L’Hôpital. Prendiamo ad esempio la funzione k(x) = (e^x – 1) / (x – 1). Calcoliamo il limite di k(x) quando x tende a 1. Applicando la regola di L’Hôpital, otteniamo:

lim x->1 [(e^x – 1) / (x – 1)] = lim x->1 (e^x / 1) = e

Il limite della funzione k(x) quando x tende a 1 è quindi e.

Questi esercizi sono solo un piccolo assaggio dell’ampia varietà di problemi sui limiti che è possibile incontrare nel calcolo. La costante di questi esercizi è fondamentale per maturare una comprensione approfondita del concetto di limite e delle sue applicazioni.

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